一、基本概念

1.二叉查找树
指二叉树中的每一个结点的键值都大于其左子树中所有结点的键值，同时都小于其右子树中所有结点的键值
2.性质
(1)没有键值相等的结点
(2)以每一个结点为根结点所构成的子树都是二叉查找树
(3)对二叉查找树进行中根遍历，得到一个单调递增的序列
3.类型定义

typedef struct bstNode {
	int key;
	bstNode* lc, * rc;
	bstNode():lc(NULL),rc(NULL){}
}*bstTree;

二、二叉查找树的操作

1.查找操作

1.算法1-1：基于二叉查找树的查找
功能
在给定二叉树t中查找键值为k的结点
算法步骤
(1)如果t为空，则不存在值为k的结点，查找结束；否则根据根结点的键值 $k_1$ 与k的比较结果分三种情况
(2)如果 $k=k_1$ ，则找到结点，查找结束
(3)如果 $k<k_1$ ，则在t的左子树中查找，进入第一步
(4)如果 $k>k_1$ ，则在t的右子树中查找，进入第一步
代码

//在二叉查找树t中查找键值为k的结点，查找结果作为返回值
bstNode* bst_search(bstTree t, int k) {
	if (t == NULL)return NULL;
	if (k < t->key)return bst_search(t->lc, k);//转入左子树查找
	else if (k > t->key)return bst_search(t->rc, k);//转入右子树查找
	else return t;
}

2.插入操作

1.算法1-2：在二叉查找树中插入一个结点
功能
在二叉查找树t中插入一个键值为k的结点
算法步骤
(1)如果t为空，创建t，并令其键值为k，结束；否则进入第二步
(2)比较k与树t的根结点键值 $k_1$ ，如果 $k<k_1$ ，则进入第三步；如果 $k>k_1$ ，进入第四步；如果 $k=k_1$ ，表明t中已存在键值为k的结点，插入失败，结束
(3)考虑t的左子树，进入第一步
(4)考虑t的右子树，进入第一步
代码

//在二叉查找树t中插入一个键值为k的结点。插入成功返回true，否则返回false
bool bst_insert(bstTree& t, int k) {
	if (t == NULL) {//空结点，创建结点，指定键值为k
		t = new bstNode;
		t->key = k;
		return true;
	}
	if (k < t->key)return bst_insert(t->lc, k);
	else if (k > t->key)return bst_insert(t->rc, k);
	return false;//如果t中已存在键值为k的结点，插入失败
}

3.删除操作

1.算法1-3：删除二叉查找数中给定键值的结点
功能
在二叉查找树t中删除键值为k的结点
算法步骤
(1)确定键值为k的结点 $t_1$ ，如果 $t_1$ 为空树，删除失败；否则分为以下情况
(2)如果 $t_1$ 为叶结点，可直接删除 $t_1$
(3)如果 $t_1$ 的右子树为空，则用 $t_1$ 的左孩子的键值取代 $t_1$ 的键值，转化为情况(2)、(3)或(4)删除 $t_1$ 的孩子
(4)如果 $t_1$ 的右子树不空，求 $t_1$ 的中根序列的直接后继 $t_2$ ( $t_1$ 的右子树的最左结点)，用 $t_2$ 的键值取代 $t_1$ 的键值，转化为情形(2)或情形(4)删除 $t_2$
代码

//删除二叉查找树的t中键值为k的结点。删除成功，返回true，否则返回false
bool bst_delete(bstTree& t, int k) {
	bstNode* tmp;
	if (t == NULL)return false;//不存在键值为k的结点，删除失败
	else if (k < t->key)return bst_delete(t->lc, k);//进入左子树
	else if (k > t->key)return bst_delete(t->rc, k);//进入右子树
	else {//t的键值为k，删除结点t
		if (t->lc == NULL && t->rc == NULL) {//结点为叶结点
			delete t;
			t = NULL;
		}
		else if (t->rc == NULL) {//右结点为空
			tmp = t->lc;
			int k1 = tmp->key;
			bst_delete(t, k1);//删除t的左孩子
			t->key = k1;//用t的左孩子的键值取代t的键值
		}
		else {//右子树不为空
			tmp = t->rc;
			while (tmp->lc)tmp = tmp->lc;//获取t的直接后继tmp
			int k1 = tmp->key;
			bst_delete(t, k1);//删除tmp
			t->key = k1;//用tmp的键值取代t的键值
		}
		return true;
	}
}