【西瓜书】4-决策树[TOC] 4.1-基本流程决策树(DTs)是一种用于分类和回归的非参数有监督学习方法。其目标是

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4.1-基本流程

决策树(DTs)是一种用于分类和回归的非参数有监督学习方法。

其目标是创建一个模型，通过学习从数据特性中推断出的简单决策规则来预测目标变量的值¹。

例如，在西瓜例子中，我们可以先观察西瓜颜色，然后在此条件下再次决策（子决策），直到能够判断出好瓜还是坏瓜。

这里给出决策树学习基本算法的伪代码

sklearn中的决策树api演示：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn import tree
X, y = load_iris(return_X_y=True)
clf = tree.DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(X, y)
tree.plot_tree(clf)

4.2-划分

当我们的属性变得比较多，那么决策树就会变得很长，这时候需要的是一个高效的决策树，使得我们能够以尽量小的决策步骤将数据划分出来，或者说一次划分尽可能多的数据。

4.2.1-信息增益(ID3)

在信息论中，熵可以衡量随机变量的不确定性，上越大就表明信息越不明确。

信息的整体的熵：

\operatorname{Ent}(D)=-\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|} p_{k} \log _{2} p_{k} \tag{4.1}

假定离散属性 $a$ 有 $V$ 个取值，那么可以计算 $a$ 取值为 $v$ 时的熵² $D^v$ , 考虑到样本数量的影响，最终得到信息增益

\operatorname{Gain}(D, a)=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V} \frac{\left|D^{v}\right|}{|D|} \operatorname{Ent}\left(D^{v}\right) \tag{4.2}

那么只需要递归地选取能使信息增益最大化的属性 $a_*$ 就行，即 $a_{*}=\underset{a \in A}{\arg \max } \operatorname{Gain}(D, a)$ 。这就是ID3算法

4.2.2-信息增益率(C.45)

C4.5决策树的提出完全是为了解决ID3决策树的一个缺点，当一个属性的可取值数目较多时，那么可能在这个属性对应的可取值下的样本只有一个或者是很少个，那么这个时候它的信息增益是非常高的，这个时候纯度很高，ID3决策树会认为这个属性很适合划分，但是较多取值的属性来进行划分带来的问题是它的泛化能力比较弱，不能够对新样本进行有效的预测。³

与ID3算法不同，C4.5算法使用信息增益率来划分决策树

Gain\_ratio(D,a) = \frac{Gain(D,a)}{IV(a)} \tag{4.3}

其中

IV(a) = \sum_{v=1}^{V}{\frac{|D^v|}{D}\log_2{\frac{|D^v|}{|D|}}} \tag{4.4}

但是增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好，于是C4.5会先算信息增益，找到大于平均值的然后选取其中增益率最高的划分。

4.2.3-基尼指数(CART)

CART决策树使用基尼指数划分

基尼值表示任意取两个样本，其不一致的概率：

Gini(D) = \sum_{k=1}^{|y|}{\sum_{k^\prime\neq k}{p_kp_{k^\prime}}} = 1 - \sum_{k=1}^{|y|}{p_k^2} \tag{4.5}

基尼指数：

Gini\_index(D,a) = \sum_{v=1}^{V}{\frac{|D^v|}{D}Gini(D^v)}

4.3-剪枝处理

剪枝处理是避免模型过拟合的常用手段，常见的有预剪枝和后剪枝。 预剪枝：决策树生成过程中，在划分前估计，如果不能提升泛化能力，那么停止 后剪枝：决策树生成后，自底向上，将不能提示泛化能力的叶子节点剪掉

4.4-连续与缺失值

4.4.2-连续值处理

当属性的取值不再离散时，我们需要做什么？连续值离散化 最简单的策略：二分法(bi-partition)，对于数学 $a$ 的取值，按照数值划分成大于和小于的两种，这里取排序后相邻取值的中位数作为划分边界。

T_a = \left\{\frac{a_i+a_{i+1}}{2}\ | \ 1 \leq i \leq n-1 \right\}\tag{4.7}

\begin{aligned} \operatorname{Gain}(D, a) &=\max _{t \in T_{a}} \operatorname{Gain}(D, a, t) \\ &=\max _{t \in T_{a}} \operatorname{Ent}(D)-\sum_{\lambda \in\{-,+\}} \frac{\left|D_{t}^{\lambda}\right|}{|D|} \operatorname{Ent}\left(D_{t}^{\lambda}\right) \end{aligned} \tag{4.8}

4.4.1-缺失值处理

数据中常有缺失值，如果直接丢弃，那么数据集的浪费将是指数级的。

这时我们面临两个问题： (1) 如何在属性值缺失的情况进行划分属性选择？

去掉该属性缺失的属性值对应的样本
计算信息增益
用无缺失值的样本所占比例乘以去除缺失值的属性的信息增益

\begin{aligned} \operatorname{Gain}(D, a) &=\rho \times \operatorname{Gain}(\tilde{D}, a) \\ &=\rho \times\left(\operatorname{Ent}(\tilde{D})-\sum_{v=1}^{V} \tilde{r}_{v} \operatorname{Ent}\left(\tilde{D}^{v}\right)\right) \end{aligned} \tag{4.12}

(2) 给定划分属性，若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分？

将该样本放到所有的分支中，并赋以不同的权重，权重为各分支的样本数占排除该属性值为缺失的样本总数比例。
相当于让同一个样本以不同的概率划入到不同的子结点中去.

4.5-多变量决策树

假设你在西瓜数据集上训练出了一下决策树其分类边界如下图所示

仔细观察会发现有几道弯，是否有办法简化一下决策树呢？其实可以组合含糖率与密度，构造一个新属性

以上图为例，其构造了两个新属性：

$-0.8 * \text{密度} - 0.044 \times \text{含糖率} \leq -0.313$
$-0.365 \times \text{密度}+0.366\times{含糖率}\leq -0.158$

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