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一、相关概念

1.1 AOV网

DAG图（Directed Acyclic Graph）是有向无环图的缩写。边上带有权值的DAG图，我们也称之为网。有时候我们使用顶点、边来代表一些活动和事件。

给出AOV网的定义：

AOV网（Activity on Vertex）：

一个较大的工程往往被划分成许多子工程，我们把这些子工程称作活动（activity）。在整个工程中，有些子工程（活动）必须在其它有关子工程完成之后才能开始，但有些子工程没有先决条件，可以安排在任何时间开始。

为了形象地反映出整个工程中各个子工程（活动）之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动（子工程），图中的有向边代表活动的先后关系。即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。

通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网（Activity On Vertex network），简称AOV网。

1.2 拓扑排序

拓扑排序：

在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)；由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序（Topological sort）。

AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

此外，还有一个概念叫做逆拓扑排序，当弄懂拓扑排序后我们一句话便可以说清楚。

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二、实现

2.1 拓扑排序

拓扑排序的实现十分简单，具体为以下步骤：

拓扑排序步骤：

1. 找出当前图中入度为0的顶点，输出；
2. 删除此顶点和与其相连的所有边；
3. 重复1~2，直至所有顶点输出完毕。

我们以一个实例来说明：

给定一个有向图：

①首先，图中入度为0的顶点有$a$，访问并删除：序列为a，得到下图：

②此时入度为0的顶点有$b, e$，我们任选一个，比如$e$，访问并删除，序列为a, e，得到下图：

③此时入度为0的顶点有$b$，访问并删除，序列为a, e, b，得到下图：

④此时入度为0的顶点有$c$，访问并删除，序列为a, e, b, c ，得到下图：

⑤此时入度为0的顶点有$d$，访问并删除，序列为a, e, b, c, d 。发现所有顶点都已经处理完毕，最后a, e, b, c, d 便是我们得到的一个拓扑序列。

显然，拓扑序列并不唯一，a, b, e, c, d ， a, b, c, e, d 都是该图的拓扑序列。

2.2 逆拓扑排序

而逆拓扑排序是怎么一回事呢？

其实就是把入度为0改为出度为0，操作与拓扑排序完全一致。比如d, c, b, e, a是该图的一个逆拓扑序列。

2.3 关于代码

关于代码，读者可以自行实现。

注意，可以采用一个数组来记录当前各个顶点的度，而不是真的在图中把某个顶点删除。当删除掉一个顶点时，遍历它的所有邻接顶点，将他们的度在数组中$-1$即可。

而逆拓扑排序只需要将每次输出顶点换成压入栈中，当所有结点遍历完毕，逐个出栈即可。