十、二叉树（Binary Tree）

1、树形结构

之前所讲的那些数组、链表、栈、队列等都是线性结构。 下面就是树形结构：

为什么要用到树呢？ 使用树形结构可以大大提高效率

2、树（Tree）的基本概念

• 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
• 一棵树可以没有任何节点，称为$\color{#ed7d30}{空树}$
• 一棵树可以只有 1 个节点，也就是只有根节点
• 子树、左子树、右子树

• 节点的$\color{#00afef}{度}$（degree）：子树的个数
• 树的$\color{#00afef}{度}$：所有节点度中的最大值
• $\color{#00afef}{叶子}$节点（leaf）：度为 0 的节点
• $\color{#00afef}{非叶子}$节点：度不为 0 的节点

• $\color{#00afef}{层数}$（level）：根节点在第 1 层，根节点的子节点在第 2 层，以此类推（有些教程也从第 0 层开始计算）
• 节点的$\color{#00afef}{深度}$（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
• 节点的$\color{#00afef}{高度}$（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
• 树的$\color{#00afef}{深度}$：所有节点深度中的最大值
• 树的$\color{#00afef}{高度}$：所有节点高度中的最大值
• 树的$\color{#00afef}{深度}$ 等于树的高度

2.1、有序树、无序树、森林

• 有序树

  • 树中任意节点的子节点之间有顺序关系

• 无序树

  • 树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
  • 也称为“自由树”

• 森林

  • 由 m（m ≥ 0）棵互不相交的树组成的集合

3、二叉树（Binary Tree）

• 二叉树的特点

  • 每个节点的$\color{#00afef}{度}$最大为2（最多拥有2棵子树）
  • 左子树和右子树是有顺序的
  • 即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

• 二叉树是有序树还是无序树？

  • 有序树

3.1、二叉树的性质

1. 非空二叉树的第 i 层，最多有 $2^{i− 1}$ 个节点（ i ≥ 1 ）

2. 在高度为 h 的二叉树上最多有$2^{h} -1$个结点（ h ≥ 1 ）

3. 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为 n0，度为 2 的节点个数为 n2，则有: n0 = n2 + 1

   • 假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
   • 二叉树的边数 T = n1 + 2 * n2 = n – 1 = n0 + n1 + n2 – 1
   • 因此 n0 = n2 + 1

3.2、真二叉树（Proper Binary Tree）

$\color{#00afef}{真二叉树}$：所有节点的$\color{#ed7d30}{度}$都要么为 0，要么为 2

3.4、满二叉树（Full Binary Tree）

$\color{#00afef}{满二叉树}$：最后一层节点的度都为 0，其他节点的度都为 2

• 假设满二叉树的高度为 h（ h ≥ 1 ），那么
  • 第 i 层的节点数量：$2^{i− 1}$
  • 叶子节点数量：$2^{h− 1}$
• 总节点数量 n
  • $n = 2^{h}-1 = 2^{0} + 2^{1} +2^{2} +... +2^{h-1}$
  • $h = log{_2}(n + 1)$

• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

3.5、完全二叉树（Complete Binary Tree）

$\color{#00afef}{完全二叉树}$：对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应

• 叶子节点只会出现最后 2 层，最后 1 层的$\color{#ed7d30}{叶子}$结点都$\color{#ed7d30}{靠左}$对齐
• 完全二叉树从$\color{#ed7d30}{根结点}$至$\color{#ed7d30}{倒数第 2 层}$是一棵$\color{#00afef}{满二叉树}$
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

3.5.1、完全二叉树的性质

3.5.2、下图不是完全二叉树

下图中E结点没有右结点，导致了不是完全二叉树。

3.5.3、面试题

如果一棵完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数

• 假设叶子节点个数为n0，度为1的节点个数为n1，度为 2 的节点个数为 n2
• 总结点个数n = n0 + n1 + n2，而且n0 = n2 + 1
• n = 2n0 + n1 – 1
  
• 完全二叉树的n1要么为 0，要么为 1
  • n1为1时，n = 2n0，n 必然是偶数
    • 叶子节点个数n0 = n / 2，非叶子节点个数n1 + n2 = n / 2
  • n1为0时，n = 2n0 – 1，n 必然是奇数
    • 叶子节点个数n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数n1 + n2 = (n – 1) / 2

总结：从上面结果看：如果n是偶数则有n0 = n / 2,如果是奇数则有n0 = (n + 1) / 2，但是这种在编程上面比较麻烦，还需要先看看是否是偶数奇数。所以，通过奇偶数的公式对比发现，当奇数公式的n0 = (n + 1) / 2 = n/2+1/2，去掉1/2就是偶数的公式，那么如果我们向下取整就满足了偶数的公式n0 = floor( (n +1)/2 ) = floor(n/2+1/2)。在真正写代码默认就是向下取整的，所以可以代码中可以直接写：n0 = (n + 1)/2 或者**n0 = (n + 1) >> 1**。同理，使用偶数公式向上取整也可以ceiling(n / 2)。

最终公式结论：

• 叶子节点个数n0 = floor( (n + 1) / 2 ) = ceiling( n / 2 )
• 非叶子节点个数n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
• 因此叶子节点个数为 384

3.6、国外教材的说法

• $\color{#00afef}{Full Binary Tree}$:$\color{#ed7d30}{完满}$二叉树 所有非叶子节点的度都为 2 就的国内说的“真二叉树”

• $\color{#00afef}{Perfect Binary Tree}$：$\color{#ed7d30}{完美}$二叉树 所有非叶子节点的度都为 2，且所有的叶子节点都在最后一层 就是国内说的“满二叉树”

• $\color{#00afef}{Complete Binary Tree}$：$\color{#ed7d30}{完全}$二叉树 根国内的定义一样