【数据结构与算法】图的基本概念

程序喵正在路上
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💖 系列专栏：数据结构与算法
🌠 首发时间：2022年11月26日
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图的定义

图 GG 由顶点集 VV 和边集 EE 组成，记为 G=(V,E)G=(V, E)，其中 V(G)V(G) 表示图 GG 中顶点的有限非空集；E(G)E(G) 表示图 GG 中顶点之间的关系（边）集合。若 V={v1,v2,...,vn}V=\{v_1, v_2, ... , v_n\}，则用 ∣V∣|V| 表示图 GG 中顶点的个数，也称为图 GG 的阶，E={(u,v)∣u∈V,v∈V}E = \{(u, v) | u \in V, v \in V\}， 用 ∣E∣|E| 表示图 GG 中边的条数

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图，即 VV 一定是非空集，但 EE 可以是空集

无向图、有向图

若 EE 是无向边（简称边）的有限集合时，则图 GG 为无向图。边是顶点的无序对，记为 (v,w)(v, w) 或 (w,v)(w, v)，因为 (v,w)=(w,v)(v, w) = (w, v)，其中 v、wv、w 是顶点。可以说顶点 ww 和顶点 vv 互为邻接点。边 (v,w)(v, w) 依附于顶点 ww 和 vv，或者说边 (v,w)(v, w) 和顶点 v、wv、w 相关联

image.png

上图可以表示为

G2=(V2,E2)G_2 = (V_2, E_2)

V2={A,B,C,D,E}V_2 = \{A, B, C, D, E\}

E2={(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}E_2 = \{(A, B), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)\}

若 EE 是有向边（也称弧）的有限集合时，则图 GG 为有向图。弧是顶点的无序对，记为 <v,w><v, w>，其中 v、wv、w 是顶点，vv 称为弧尾，ww 称为弧头，v、wv、w 称为从顶点 vv 到顶点 ww 的弧，也称为 vv 邻接到 ww，或 ww 邻接自 vv。<v,w> ≠ <w,v><v, w>\ \neq\ <w, v>

image.png

上图可以表示为

G1=(V1,E1)G_1 = (V_1, E_1)

V1={A,B,C,D,E}V_1 = \{A, B, C, D, E\}

E1={<A,B>,<A,C>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D>}E_1 = \{<A, B>, <A, C>, <A, E>, <B, A>, <B, C>, <B, E>, <C, D>\}

简单图、多重图

简单图 —— 不存在重复边；不存在顶点到自身的边

多重图 —— 图 GG 中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则 GG 为多重图

简单图和多重图也有无向图和有向图之分

顶点的度、入度、出度

对于无向图：顶点 vv 的度是指依附于该顶点的边的条数，记为 TD(v)TD(v)

在具有 nn 个顶点、ee 条边的无向图中，∑i=1nTD(vi)=2e\sum_{i=1}^{n}TD(v_i) = 2e，即无向图的全部顶点的度的和等于边数的 22 倍

对于有向图：

  • 入度是以顶点 vv 为终点的有向边的数目，记为 ID(v)ID(v)
  • 出度是以顶点 vv 为起点的有向边的数目，记为 OD(v)OD(v)
  • 顶点 vv 的度等于其入度和出度之和，即 TD(v)=ID(v)+OD(v)TD(v) = ID(v) + OD(v)

在具有 nn 个顶点、ee 条边的有向图中，∑i=1nID(vi)=∑i=1nOD(vi)=e\sum_{i=1}^{n}ID(v_i) = \sum_{i=1}^{n}OD(v_i) = e

顶点-顶点的关系描述

  • 路径 —— 顶点 VpV_p 到顶点 VqV_q 之间的一条路径是指顶点序列 Vp,Vi1,Vi2,…,Vim,VqV_p, V_{i_1}, V_{i_2}, \dots , V_{i_m}, V_q
  • 回路 —— 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或者环
  • 简单路径 —— 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径
  • 简单回路 —— 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路
  • 路径长度 —— 路径上边的数目
  • 点到点的距离 —— 从顶点 uu 出发到顶点 vv 的最短路径若存在，则此路径的长度称之为从 uu 到 vv 的距离；若从 uu 到 vv 根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞\infty）
  • 无向图中，若从顶点 vv 到顶点 ww 有路径存在，则称 vv 和 ww 是连通的
  • 有向图中，若从顶点 vv 到顶点 ww和从顶点 ww 到顶点 vv 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

连通图、强连通图

若无向图 GG 中任意两个顶点都是连通的，则称图 GG 为连通图，否则称为非连通图

若有向图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图

对于 nn 个顶点的无向图 GG：

  • 若 GG 是连通图，则最少有 n−1n-1 条边
  • 若 GG 是非连通图，则最多有 Cn−12C_{n-1}^{2} 条边

对于 nn 个顶点的有向图 GG：

  • 若 GG 是强连通图，则最少有 nn 条边（形成回路）

子图

设有两个图 G=(V,E)G = (V, E) 和 G′=(V′,E′)G' = (V', E')，若 V′V' 是 VV 的子集，且 E′E' 是 EE 的子集，则称 G′G' 是 GG 的子图

若有满足 V(G′)=V(G)V(G') = V(G) 的子图 G′G'，则称其为 GG 的生成子图，也就是比如说一个子图中有原图的所有点，但少了一些边，那么可以说这个子图是原图的生成子图

连通分量、强连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量，其中，极大连通子图是指子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量，其中，极大强连通子图是指子图必须强连通，同时保留尽可能多的边

生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能少，但要保持连通）

若图中顶点数为 nn，则它的生成树有 n−1n - 1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路

生成森林

在非连通图中，每个连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

边的权、带权图/网

  • 边的权 —— 在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值
  • 带权图/网 —— 边上带有权值的图称为带权图，也称为网
  • 带权路径长度 —— 当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

几种特殊形态的图

  • 无向完全图 —— 无向图中任意两个顶点之间都存在边

    • 若无向图的顶点数 ∣V∣=n|V| = n，则 ∣E∣∈[0,Cn2]=[0,n(n−1)2]|E| \in [0, C_n^2] = [0, \frac{n(n - 1)}{2}]

  • 有向完全图 —— 有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

    • 若有向图的顶点数 ∣V∣=n|V| = n，则 ∣E∣∈[0,2Cn2]=[0,n(n−1)]|E| \in [0, 2C_n^2] = [0, n(n - 1)]

  • 边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图，边数没有绝对的界限，一般来说 ∣E∣<∣V∣log∣V∣|E| < |V|log|V| 时，可以将 GG 视为稀疏图

  • 树 —— 不存在回路，且连通的无向图。对于 nn 个顶点的树，必有 n−1n - 1 条边

  • nn 个顶点的图，若 ∣E∣>n−1|E| > n - 1，则一定有回路

  • 有向树 —— 一个顶点的入度为 00，其余顶点的入度均为 11 的有向图，称为有向树，有向树不一定是强连通图

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