先上题目：
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
来源：力扣（LeetCode）
分析：
到楼顶，即最高阶的方法总数会等于“上一步是爬1阶”的方法总数和“上一步是爬2阶”的方法总数相加。每一阶都如此。
值得注意的是，上第一阶有1种方法，上第二阶有2种方法，上第三阶以及以上有“前两阶方法总数相加”的方法。
图片来源：图灵
解法：
这里提供了三个解法，分别是：递归、动态规划和斐波那契公式。
class Solution {
//1.递归写法
//直接使用递归会超时
//使用数组/集合记录已经计算出来的数，减少重复计算的时间
//时间复杂度：O(n)
HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
public int climbStairs1(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
if(map.get(n) != null){
return map.get(n);
} else{
int result = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
map.put(n, result);
return result;
}
}
//2.循环/动态规划写法
//也可以使用数组，不过会增加空间复杂度
//在c中，++i效率比i++高，因为i++多了一步（temp = i）；而在java，二者都用到了中间值temp，即它们的效率是一样的。
//时间复杂度：O(n)
public int climbStairs2(int n) {
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
int result = 0;
int prepre = 1;
int pre = 2;
for(int i = 3;i <= n;i++){
result = prepre + pre;
prepre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
//3.斐波那契数列写法
//斐波那契数列：第0个数为0，第一个数为1，第二个数为1，从第三项（2）开始，每一项都为前两项之和
//时间复杂度：O(logn)
public int climbStairs3(int n) {
double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
double fib_n = Math.pow((1 + sqrt_5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt_5) / 2,n + 1);
return (int)(fib_n / sqrt_5);
}
}
附上：斐波那契公式：
