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# 剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列变种
斐波那契数列的计算，本质上是一个动态规划问题，将所求的结果，转换成前两步的运算结果
动态规划的定义： 动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。
典型的例子有斐波那契数列、青蛙跳台阶问题。
LeetCode原题：
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下： F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1. 斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。 答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
用数学符号表达一下：
尝试一下递归版（Java）写法：
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n == 1 || n == 0) {
return n;
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
}
递归版函数栈等待时间过长容易超时
转为迭代版本（Java）：
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n == 1 || n == 0) {
return n;
}
long i = 0;
long j = 1;
long fb = 0;
for(int b = 2; b <= n; b++) {
fb = i + j;
fb = (long)(fb % (1e9+7));
i = j;
j = fb;
}
return (int)fb;
}
}
提交效果：
Python迭代版本的斐波那契数列递归实现：
class Solution(object):
def fib(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n == 0 or n == 1:
return n
i = 0
j = 1
sum = 0
for k in range(n):
sum = i + j
i = j
j = sum
return i%int(1e9+7)
提交效果：
青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个
n级的台阶总共有多少种跳法。答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
青蛙跳台阶问题，实质上就是动态规划，假设最后一跳（第n次）是一个台阶，或者两个台阶，往旧历史推演，那么第(n-1)次是几个台阶，第(n-2)次，…，第1次。
数学表示为：
递归版本（Java）：
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n == 1 || n == 0) {
return 1;
}
return numWays(n - 1) + numWays(n - 2);
}
}
Java迭代版本：
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n == 1 || n == 0) {
return 1;
}
int i = 1;
int j = 1;
int sum = 0;
while(n >= 2) {
sum = i + j;
sum = sum % (1000000007);
i = j;
j = sum;
n -= 1;
}
return sum;
}
}
实现效果：
Python版迭代代码：
class Solution(object):
def numWays(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n == 0 or n == 1:
return 1
i = 1
j = 1
sum = 0
for k in range(2, n+1, 1):
sum = i + j
i = j
j = sum
return sum % (1000000007)
提交效果：
