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素性测试

素性测试是判断一个自然数是否为素数的测试。素数(prime number)就是只能被1和其自身整除，且大于1的自然数。素数从小到大有2、3、5、7、11、13……目前在加密技术中被广泛应用的RSA 算法就会用到大素数，因此“素性测试”在该算法中起到了重要的作用

图解

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我们来试着判断3599是否为素数吧。简单的方法便是将3599按顺序除以比2大的数字，看是否能被整除。“整除”就是指mod运算的结果为0。由于3599的平方根为59.99…，所以只需要除以从2到59的数字

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根据mod 运算的结果可知，3599能被59整除。也就是说，3599并不是素数。但假如需要判断的数非常大，这种方法就十分耗费时间。这种时候就可以用“费马测试”来解决这个问题

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费马测试被称为概率性素性测试，它判断的是“某个数是素数的概率大不大”。在讲解费马测试之前，我们先来学习基础知识——素数的性质。首先来看一看素数5有什么样的性质

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对于比5小的数，分别计算它们的5次方，结果如上图所示

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接下来，再对结果分别进行mod运算，求得它们除以5后的余数，结果如上图所示

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观察原本的数和余数，发现两者一致

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由此，可以推导出关于素数5，以上公式成立

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实际上不只是5，对于任意素数p，上面的公式都是成立的。这就是“费马小定理”。根据是否满足费马小定理来判断一个数是否为素数的方法就是“费马测试”

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那么，我们就用费马测试来判断一下113是否为素数吧

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随机选择3个比113小的数作为n，计算这些数的113次方，再用113去除得到的结果，求出余数。3个数最后得到的余数都和原本的数相同，因此可以判断113是素数

解说
确认n和余数一致的次数越多，需要判断的数确实为素数的可能性就越大。但是，如果每一个小于p的数都要去计算，就会非常耗费时间。实际上，如果确认了几组n和余数之后就能判断该数是素数的可能性非常高，那么大致就可以判定该数是素数了。
比如在RSA算法中，用于素性测试的是根据费马测试改进而来的“米勒-拉宾(Miller-Rabin)素性测试”。用这个方法重复进行测试后，当数不是素数的概率小于 0.5%时，就可以大致判断该数为素数。