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欧几里得算法

欧几里得算法(又称辗转相除法)用于计算两个数的最大公约数，被称为世界上最古老的算法

图解

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首先来看这两个数的最大公约数

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通常的做法是先对两个数字因式分解，找出共同的素数，然后求出最大公约数(GCD)。这样就能求出1112和695的最大公约数为139。然而两个数字越大，因我分解就越难。此时，使用欧几里得算法就能更高效地求解最大公约数

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那么，我们就来看一看欧几里得算法的具体操作流程吧

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首先用较小的数字去除较大的数字，求出余数。也就是对两个数字进行mod运算。我们在第5章也讲过mod运算即取余运算，A mod B就是算出A除以B后的余数C

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除完后的余数为417

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接下来再用除数695和余数417进行mod运算。结果为278

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继续重复同样的操作，对417和278进行mod运算，结果为139

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对278和139进行mod运算，结果为0。也就是说，278可以被139整除

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余数为0时，最后一次运算中的除数139就是1112和695的最大公约数

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为什么用欧几里得算法可以求得最大公约数呢

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将最大公约数设为n，然后在直线上画出相应刻度。由于我们已知最大公约数为139，所以为了方便理解，在1112上画出8个刻度，在695上画出5个刻度

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这里和前面的运算一样，用小的数去除大的数，得到的余数为417

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继续重复mod运算。用417去除695，得到余数278

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继续做除法。由于278可以被 139整除，所以……

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余数为0。此时便能求得最大公约数n为139

解说
使用欧几里得算法，只需重复做除法便能求得最大公约数。这个算法最大的优势就在于即使两个数字再大，只要按照步骤进行操作就能高效地求得两者的最大公约数。