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背包问题：0-1背包，完全背包，多重背包，混合三种背包，二维费用背包等等；
0－1背包：有n种物品，每种物品只有一个
完全背包：有n种物品，每种物品有无限个
多重背包：有n种物品，每种物品的个数各不相同
主要体现在物品数量的不同
本文先从最简单的0-1背包问题开始研究##
问题描述：有N件物品和一个可以容纳重量为W的背包，第i件物品的重量是weight[i],价值是value[i],求解应在背包中放入哪些物品使得背包的总价值最大，并且需要满足总重量不超过背包的最大重量。
首先，如果不考虑动态规划，最简单的想法就是：
每种物品都有两种状态，放入背包or不放入背包，所以只需要遍历所有的情况，选择价值最大的那种便好，此时算法的复杂度为O(n2)。
下面，我们来一起看动态规划：
以一个简单的例子学习：假设此时背包能够容纳最大的重量为4
| 物品 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 15 |
| 1 | 3 | 20 |
| 2 | 4 | 30 |
1.二维数组
（1）定义二维数组dp[i][j]，表示的含义为，[0,i]之间的物品任取，放进容量为j的背包里面，最大价值为dp[i][j]
（2）递推公式为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weght[i]]+value[i])
解释：dp[i-1][j]表示，不放物品i此时的价值，因为此时在[0,i-1]之间取物品，放入容量为j的背包； dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放物品i此时的价值，因为dp[i-1][j-weight[i]]表示在[0,i-1]之间任取物品，放入j-weight[i]的背包中，在加上value[i]即i的价值，则表示在[0,i-1+1]中取，放入j-weight[i]+weight[i]的背包中；;
（3）对于dp数组的初始化：具体情况具体分析，不能都初始化为0or1
观察递推公式，dp[i][j]，由对应的上一层i-1层和左上角的某个数推出来（左上角是因为i-1<I,j-weight[i]<j）,所以初始化第一列和第一行是有必要的，需要思考，其他元素的初始化，需要自行赋予初值，但是不能影响正确结果，比如随便dp[1][3]=100,就会影响结果，我们默认赋予0
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 1 | 0 | ||||
| 2 | 0 |
如上表所示，这部分数赋予初值需要考虑，第一列表示的含义为，背包容量为0,此时当然不能放任何物品，价值为0，第一行的含义为，在[0,0]之间的物品任取，就是物品0,在背包容量为0，1，2，3，4，分别能放的最大价值。未填的数据，直接赋予0即可。
（4）遍历顺序：
两层for循环，一个是遍历物品，一个是遍历背包容量
对于二维数组0－1背包问题，两层for循环遍历顺序可以颠倒（如果是一维数组就不可以颠倒，下面会叙述原因）
若第一层循环遍历物品，后一层循环遍历背包容量，那就是先第一行计算行，再计算第二行，不影响结果；
若第一层遍历背包容量，后一层循环遍历物品，那就是先计算第一列，再计算第二列，不影响结果。
2. 一维数组：滚动数组
此时就将相当于把一个二维矩阵压缩为一行，为什么可以这样呢，我们看会二维数组递推公式，dp[i][j]与dp[i-1][j]有关就是其只与上一行有关，dp[i][j]与dp[i-1][j-weight[i]],也是其只与上一行有关，所以，我们在计算第i时，是不是只需要保留第i-1行的值就可以，所以就可以变为一维数组。
（1）明确数组含义：dp[j]，容量为j背包所能装的最大价值为dp[j];
（2）递推公式：
dp[j]=max(dp[j],dp[j-wieght[i]]+value[i])
dp[j]表示不放第i个物品，dp[j-wieght[i]]+value[i]表示放第i个物品
(3)初始化，dp[0]=0,非零下标的初始化，非负数里面的最小值，统一初始化为0；
(4)遍历顺序：
for(i=0;i<物品数量；i++)#遍历物品
for(j=bagweight;j>=weight[i];j--)#遍历背包
递推公式,倒叙遍历，保证每个物品只被添加一次
接下来，我们以最上面的例子，回答几个问题
A:为什么都初始化为0？
B：为什么遍历顺序不可以颠倒？如果颠倒结果会怎么样？
C：为什么是倒叙遍历？
| dp[0] | dp[1] | dp[2] | dp[3] | dp[4] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
按照遍历顺序:
Step1:
先i=0,j=4,weight[0]=1,value[0]=15,由于j>=1,所以，dp[4]=max(dp[4],dp[4-1]+15)=15
J=3,j>=1,dp[3]=max(dp[3],dp[3-1]+15)=15;dp[2]=15,dp[1]=15,dp[0]=0;
Step2:
i=1,j=4,weight[1]=3,value[1]=20,所以，dp[4]=max(dp[4],dp[4-3]+20)=35,dp[3]=20,此时j=2不满足j>3,所以无法进入递推公式
之后想法一样样的，就不唠了
A：初始化为0，是因为由上述的计算可以看出，再递推公式中，只要不赋予很大的初值，影响结果就可，所以为了保险起见，赋予初值为0；
B:如果遍历顺序颠倒，那就是
for(j=bagweight;j>=weight[i];j--)#遍历背包
for(i=0;i<物品数量；i++)#遍历物品
递推公式，来计算一下，
当j=4时
dp[4]=max(dp[4],dp[4-1]+15)=15
dp[4]=max(dp[4],dp[4-3]+20)=20,
dp[4]=max(dp[4],dp[4-4]+30)=30;
当j=3时,3<=weight[2]=4,所以根本不会改变值，进入循环
当j=2,j=1时，情况一样
也可以逻辑分析一下，二维数组第i行由第i-1行决定，所以就要先计算第i-1行，就要第一层循环是物品，第二层循环是背包
C：for(j=bagweight;j>=weight[i];j--)这个倒叙循环的原因
（1）逻辑分析：二维数组第i行的数据要依据i-1行的数据，就意味着，dp[4]要依据上一次未改变的dp[3],dp[1],dp[0],但是如果从前向后遍历，是不是就改变了dp[0].dp[1],dp[3]的数据，就意味着计算dp[4]时，用的是本层的新的数据，而不是上一层未改变的数据，所以就要倒叙；
（2）理论分析：如果从前往后遍历，
dp[1]=max(dp[1],dp[0]+15)=15;dp[2]=max(dp[2],dp[1]+15)=30
就会发现，物品0被放了两次，不对！
好啦，本文就结束了，祝大家每天开开心心快快乐乐！！
