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背包定义
给定一个背包容量 target，再给定一个数组 nums（物品），能否按一定方式选取 nums 中的元素得到 target
注意：Target 可能非显式，需要计算
背包问题 (Knapsack problem) 是一种组合优化的 NP (NP-Complete) 完全问题。NP 完全问题：多项式复杂程度的非确定性问题。通常我们认为计算机可解决的问题只限于多项式时间内，而O(2(N))、O(N!)这类非多项式级别的问题，其复杂度往往已经到了计算机都接受不了的程度。
背包分类
常见的背包类型主要有以下几种：
- 0-1 背包：对于每个元素来说，只有两个选：选和不选；也就是说，每个元素只能选取一次
- 完全背包：每个元素可以重复选择
- 组合背包：背包中的物品要考虑顺序
- 分组背包：不止一个背包，需要遍历每个背包
而每个背包要求的问题也是不同的，按照问题分类，又可以分为：
- 最值问题：最大值/最小值
- 存在问题：是否存在...，满足...
-
计数问题：求所有满足...的排列组合，有的题目只要求计算总数，有的要求列举详情
解题模板
背包问题大体的解题模板是两层循环，分别遍历物品 nums 和背包容量 target，然后写状态转移方程。
根据背包的分类我们确定物品和容量遍历的先后顺序，根据问题的分类确定状态转移方程的写法。
首先是背包分类的模板：
- 0-1 背包：外循环 nums，内循环 target，target 倒序
- 完全背包：外循环 nums，内循环 target，target 正序
- 组合背包：外循环 target，内循环 nums，target 正序
-
分组背包：需要三重循环，外循环背包 bags，内部循环根据题目的要求转化为 1,2,3 三种背包类型的模板
Q1：为什么遍历 target 时， 0-1 背包必须倒序，而完全背包必须正序？
递推公式为 dp[j] *= dp[j - num] （*号表示 |、+、min、max等操作），也就是说，dp[j] 依赖于 dp[j - num] 的结果。那么希望 dp[j - num] 是处理过当前物品还是没有处理过的呢？
很显然，0-1 背包对于每个物品，只允许选一次。也就是说，如果 dp[j - num] 中包含了 nums[i]，那么 dp[j] 则不能取该物品，递推公式也就不能成立。所以为了防止 dp[j - num] 被当前物品污染，需要从后往前遍历 target，确保 dp[j] 所依赖的 dp[j - num] 没有接触过当前物品。
而完全背包中，每个物品允许多次选择。而且为了达成更优解，必须尝试多次获取同一物品。在处理 dp[j] 时，希望 dp[j - num] 已经处理过 num[i]，得到更优的 dp[j - num] ，而 dp[j] 将基于这个更优的结果进行计算。所以完全背包这里，正序也是必须的。
Q2：为什么有时候 nums 为外循环，有时候 target 为外循环？如何区分使用哪个？
思考这样一个问题：循环处理 nums 时，假设当前处理的数为 num，对于 dp[i - num]，是否希望其中包含了对 num 本身的处理结果呢？
0-1 背包：nums 为外循环
在 0-1 背包中，每个物品只允许选取一次，不希望 dp[i - num] 包含 num 处理结果。所以将 nums 放在外层，与 Q1 希望达成的效果是一致的：dp[i - num] 不会被当前物品污染。
完全背包：nums 为外循环 VS 组合背包： target 为外循环
完全背包和组合背包的主要区别是，是否关注结果的顺序。比如完全背包中认为 [1,2,1] 和 [1,1,2] 是同一种选取方式，而组合背包则视作不同。
在完全背包中，为了避免将 [1,2,1] 和 [1,1,2] 视作不同，先集中处理一个 num 可能达成的结果，再处理下一个... 因此将 nums 放在外层。
在组合背包中，使用 dp[i - num] 时，是允许其中包含 num 的处理结果的，因为最新的 num 与之前的 num 处于不同的位置，不会产生重复结果。
然后是问题分类的模板：有没有？有几种？最值是？
- 存在问题：dp[i] |= dp[i - num]
- 计数问题：dp[i] += dp[i - num]
-
最值问题：dp[i] = max/min(dp[i], dp[i - num] + 1)
典例剖析 [ 🔥 : HOT 100]
0-1 背包
🔥 416 分割等和子集
0-1 背包存在性问题：是否存在一个子集，其和为 target = sum / 2，外循环 nums，内循环 target 倒序，应用状态方程 2
var canPartition = function(nums) {
const sum = nums.reduce((num, acc) => num + acc, 0)
if(sum % 2 !== 0) return false // 不是偶数
const target = sum / 2
const n = nums.length
// dp 含义：能否恰好满足容量为 j 的背包
const dp = new Array(target + 1).fill(false)
dp[0] = true // 容量为 0，啥都不选
for(let i = 0; i < n; i += 1) {
for(let j = target; j > 0; j -= 1) {
dp[j] |= dp[j - nums[i]]
}
}
return dp[target]
};
🔥 494 目标和
0-1 背包不考虑元素顺序的计数问题：选 nums 里的数得到 target 的种数，外循环 nums，内循环 target 倒序，应用状态方程 3
var findTargetSumWays = function(nums, target) {
const n = nums.length
const sum = nums.reduce((num, acc) => num + acc, 0)
if((sum + target) % 2 !== 0 || Math.abs(sum) < Math.abs(target)) return 0
const t = (target + sum) / 2
const dp = new Array(t + 1).fill(0)
// 递推公式：dp[i] += dp[i - num]
dp[0] = 1
for(let i = 0; i < n; i += 1) {
for(let j = t; j >= nums[i]; j -= 1) {
dp[j] += dp[j - nums[i]]
}
}
return dp[t]
};
474 一和零
0-1 背包最值问题：外循环 nums，内循环 target 倒序，应用状态方程。target：有两个维度，m 和 n，注意同样是倒序的。
var findMaxForm = function(strs, m, n) {
// 背包容量：m 个 0 和 n 个 1
// strs 就是物品，选还是不选
// 最值问题
// 先计算得到每个 str对应的 0 和 1 的个数
let count = {}
const set = new Set(strs)
for(const str of set) {
let arr = [0, 0]
for(const c of str) {
arr[c] += 1
}
count[str] = arr
}
const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0))
for(let i = 0; i < strs.length; i += 1) {
const str = strs[i]
const [zero, one] = count[str]
for(let j = m; j >= zero; j -= 1) {
for(let k = n; k >= one; k -= 1) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - zero][k - one] + 1)
}
}
}
return dp[m][n]
};
完全背包
🔥 279 完全平方数
完全背包的最值问题：完全平方数最小为1，最大为 sqrt(n)，题目转换为在 nums = [ 1, 2, 3 ... sqrt(n)] 中选任意数平方和为 target = n。外循环 nums，内循环 target，转移方程 1
var numSquares = function(n) {
// target 就是 n, nums 则是 1 至小于 根号n 的数字
// 外循环 nums 内循环 target
// 状态转移方程：dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1)
const m = Math.floor(Math.sqrt(n))
const dp = new Array(n + 1).fill(n)
dp[0] = 0
for( let i = 1; i <= m; i += 1) {
const num = i * i
for(let j = num; j <= n; j += 1) {
dp[j] = Math.min(dp[j - num] + 1, dp[j])
}
}
// console.log(dp)
return dp[n]
};
🔥 322 零钱兑换
完全背包最值问题：物品为 coins，背包容量为 amount，计算最少硬币数。外循环 nums，内循环 target 正序，应用最值方程
var coinChange = function(coins, amount) {
// 最少硬币
const dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0
for(let i = 0; i < coins.length; i += 1) {
const coin = coins[i]
for(let j = coin; j <= amount; j += 1) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
}
}
return isFinite(dp[amount]) ? dp[amount]: -1
};
518 零钱兑换 II
完全背包不考虑顺序的计数问题：外循环 nums，内循环 target 正序，应用计数方程
var change = function(amount, coins) {
const dp = new Array(amount + 1).fill(0)
dp[0] = 1
for(let i = 0; i < coins.length; i += 1) {
const coin = coins[i]
for(let j = coin; j <= amount; j += 1) {
dp[j] += dp[j - coin]
}
}
return dp[amount]
};
🔥 39 组合总数
完全背包计数问题，需要详情的：外循环 nums，内循环 target，正序
var combinationSum = function(candidates, target) {
const dp = new Array(target + 1).fill(0).map(() => [])
//console.log(dp)
dp[0] = [[]]
for(let i = 0; i < candidates.length; i += 1) {
const candidate = candidates[i]
for(let j = candidate; j <= target; j += 1) {
const arr = dp[j - candidate]
for(const item of arr) {
const tmp = [...item, candidate]
dp[j].push(tmp)
}
}
}
return dp[target]
};
组合背包
377 组合总数 IV
组合背包的计数问题
var combinationSum4 = function(nums, target) {
const dp = new Array(target + 1).fill(0)
dp[0] = 1
for(let i = 1; i <= target; i += 1) {
for(let j = 0; j < nums.length; j += 1) {
const num = nums[j]
if(i >= num) dp[i] += dp[i - num]
}
}
return dp[target]
};
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