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1、写在前面

大家好，今天文章的内容是：

• 二叉树的基础知识

2、内容

2.1、种类

(1) 满二叉树

如果在一个二叉树中，只有度为0和度为2的结点，并且度为0的结点都在同一层，任意层次的结点个数都达到了最大值，我们将这样的二叉树称为满二叉树。

比如：

如果满二叉树的某一层的深度为$k$，则该层应有$2^{k-1}$个结点。

(2) 完全二叉树

如果在一个二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最底层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。那么我们就称这个二叉树为完全二叉树。

比如：

(3) 二叉搜索树

二叉搜索树是一种有序树，其定义如下：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值都小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值都大于它的根结点的值；
3. 左、右子树都分别是二叉搜索树

比如：

(4) 平衡二叉搜索树

如果在一颗二叉树中，左右子树的高度差绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树，那么我们称这个二叉树为平衡二叉搜索树，又称AVL（Adelson-Velsky and Landis）树。

比如：

2.2、存储结构

(1) 顺序存储

顺序存储的方式就是用数组，其存储的元素在内存是连续分布的

比如上述二叉树就可以用一个数组来表示，如下所示：

二叉树之所以可以用数组来存储，是因为二叉树的性质：

如果对一颗有$n$个结点的完全二叉树按层次自上而下（每层从左到右）对结点进行编号（从$1$到$n$），则对任意结点$i$而言：

• 如果结点的编号$i$等于$1$，则结点$i$为根结点（没有父结点）
• 如果$i$大于$1$，则该结点$i$的父节点编号为$i/2$
• 如果$2i$小于或等于$n$，则$i$的左孩子的编号为$2i$，否则$i$无左孩子
• 如果$2i+1$小于或等于$n$，则$i$的右孩子的编号为$2i+1$，否则$i$无右孩子。

如上图所示，完全二叉树中有9个结点，即$n=9$。举个例子，比如编号$i$为4的结点为$D$，又因为 $2i≤n$，即$8≤9$，所以结点$D$的左孩子的编号为$2i=8$（也就是$H$），可以观察到，上图中结点 $D$ 的左孩子确实是$H$。

像这样，从上而下，从左到右地将二叉树的结点存储下来，并利用二叉树性质，就可以轻松地体现二叉树各个结点之间的逻辑关系。这就是二叉树的顺序存储结构。

(2) 链式存储

当我们采取链式存储结构来存储二叉树时，每个结点除了存储数据元素本身的值data外，还需要设置两个指针，分别用于指向左、右子树。当任意结点的某个子树为空时，对应的指针就可以设置为NULL

2.3、遍历运算

掌握二叉树的遍历运算也很重要，对于二叉树而言，遍历运算主要分为两种：深度优先遍历（先往深走，遇到叶子节点再往回走）和广度优先遍历（一层一层的去遍历）。

比如，现在有一颗二叉树如下图所示：

那么有如下遍历方式：

(1) 深度优先遍历

• 前序遍历：[$A、B、D、H、I、E、C、F、G$]
• 中序遍历：[$H、D、I、B、E、A、F、C、G$]
• 后序遍历：[$H、I、D、E、B、F、G、C、A$]

(2) 广度优先遍历

• 层次遍历：[$A、B、C、D、E、F、G、H、I$]

3、写在最后

好了，文章的内容就到这里，感谢观看。