分汤

题目

原题链接：分汤

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

提供 100ml 的汤A 和 0ml 的汤B 。
提供 75ml 的汤A 和 25ml 的汤B 。
提供 50ml 的汤A 和 50ml 的汤B 。
提供 25ml 的汤A 和 75ml 的汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值：汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释: 如果我们选择前两个操作 ， A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。 所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示:

0 <= n <= 10^9

题解

思路

思路来源：传送门

由于我们知道共有4种分配操作，而且每次分配的汤的容量是25的倍数，因此，我们可以将n/25,得到我们能够分配的次数，在除的时候，我们应该是向上取整，因为剩的一些汤我们还是要分配一次的。除此之外，我们假设dp[i][j]为当汤A还剩i次、汤B还剩j次分配次数时，汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率/2，那么可得 dp[i][j] = (dp[i - 4][j] + dp[i - 3][j - 1] + dp[i - 2][j - 2] + dp[i - 1][j - 3]) / 4

边界值考虑

dp[0][0] = 0.5，意味着汤A和汤B同时分配完，因此汤A不可能比汤B先分配完，所以贡献值为0 + 1/2 = 0.5。
dp[i][0] = 0，意味着汤B比汤A先分配完，因此汤A不可能比汤B先分配完，汤A也不可能和汤B同时分配完，所以贡献值为0 + 0 / 2 = 0。
dp[0][i] = 1，意味着汤A比汤B先分配完，因此汤A不可能与汤B同时分配完，所以贡献值为1 + 0 / 2 = 1。
由于n的范围属于[0,10^9]，那么分配次数n/25属于[0,40000000]，很明显数组超限。此时我们想到汤A的平均分配次数为T(A) = (4 + 3 + 2 + 1) / 4 = 2.5，汤B的平均分配次数为T(B) =(0 + 1 + 2 + 3) / 4 = 1.5，因此我们可以知道当n越大，分配给A的次数就越多，dp[n][n]就越接近于1。

代码实现

class Solution {
    public double soupServings(int n) {
        //向上取整
        int len = (int)Math.ceil(n / 25d);
        if (len >= 200) {
            return 1;
        }
        double[][] dp = new double[len + 1][len + 1];
        dp[0][0] = 0.5;
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            for (int j = 1; j <= len; j++) {
                dp[i][j] = 0.25 * (dp[Math.max(0, i - 4)][j] + dp[Math.max(0, i - 3)][Math.max(0, j - 1)] + dp[Math.max(0, i - 2)][Math.max(0, j - 2)] + dp[Math.max(0, i - 1)][Math.max(0, j - 3)]);
            }
        }
        return dp[len][len];
    }
}