204.计数质数

题目：
给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。
算法：
背景知识：
自然数：包括素数和合数和1，0不是自然数。
素数：大于1，且只能被1和他本身整除的数。
合数：大于1，除了1和他本身之外，还能被其他数（不包括0）整除的数。

解法一：暴力法
假设n不是素数，则存在 x * n / x = n, 至少有一个数落在 [2,$\sqrt{n}$]之间。因此我们只要检查这个区间即可。

func countPrimes(n int) int {
	cnt := 0
	for i := 2; i < n; i ++ {
		if isPrime(i) {
			cnt ++
		}
	}
	return cnt
}
func isPrime(num int) bool {
	for i := 2; i * i <= num; i ++ {
		if num % i == 0 {
			return false
		}
	}
	return true
}

方法二： 埃氏筛
所有的合数最终可以分解成多个质数之积。 如x是质数，则x,2x,3x,4x...都是合数。我们从2开始，用数组primes保存i是素数还是合数，i=0素数，i=1合数。初始状态所有数为素数。 假设n=10, n=2，质数，cnt ++, primes[2]=0, primes[4],primes[6],primes[8]=1
n=3，质数，cnt ++, primes[3]=0, primes[6],primes[9]=1
n=4，合数，跳过
n=5，质数，cnt ++, 25 >= 10跳过
n=6，合数，跳过
n=7，质数，cnt ++, 27 >= 10跳过
n=6，合数，跳过
n=9，质数，cnt ++, 2*9 >= 10跳过

func countPrimes(n int) int {
	state := make([]int, n)
	cnt := 0
	for i := 2; i < n; i ++ {
		if state[i] == 0 {
			cnt ++
			for j := 2; j * i < n; j ++ {
				state[j * i] = 1
			}
		}
	}
	return cnt
}

方法二： 埃氏筛 优化：

func countPrimes(n int) int {
	state := make([]int, n)
	cnt := 0
	for i := 2; i < n; i ++ {
		if state[i] == 0 {
			cnt ++
                        // 当这样循环时：for j := 2; j * i < n; j ++ 
                        // 2i, 3i, 4i...(i-1)i已经分别在在i=2,3,4,...i-1的时候被计算过了，所以直接从i*i开始计算
			for j := i; j * i < n; j ++ {
				state[j * i] = 1
			}
		}
	}
	return cnt
}