647. 回文子串

题目链接：647. 回文子串

思路：直接动态规划五步曲：

1. dp[i][j] 表示[i,j]范围内的s是否是回文子串，这里用bool类型
2. 递推公式：这里也是要分情况讨论。

当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。 当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况

• 下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3. 初始化，这里的二维矩阵，其实我们只需要用到上半部分，我是先初始化对角线，然后再从下到上，从左到右对上半部分进行遍历。这里同样分析一下随想录中的思路，随想录中首先全都初始化为false。
4. 由递推公式可以看出，当前的值依赖于左下角相邻节点的值，所以要先从上到下，再从左到右。
5. 举例说明

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        // dp[i][j] 表示[i,j]范围内的s是否是回文子串
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        // 递推公式：
        char[] arr = s.toCharArray();
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            dp[i][i] = true;
            res++;
        }
        for (int i = s.length() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
                if (arr[i] == arr[j]) {
                    if (j - i <= 1) {
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    }
                    System.out.println(dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

516.最长回文子序列

题目链接：516.最长回文子序列

思路：本题相对于回文子串来说不要求连续，动态规划五步曲分析：

1. dp[i][j] 表示字符串s在[i,j]范围内最长回文子序列的长度
2. 递推公式：分情况讨论

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

• 只加入s[i]，回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
• 只加入s[j]，回文子序列长度为dp[i][j + 1]。（这两种情况应该是求最大值）

3. 初始化，单个字母肯定是回文串，初始化dp[i][i] = 1，其他为0即可
4. 遍历顺序，i从下往上遍历，j从左到右遍历。先i后j
5. 举例说明

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        // dp[i][j] 表示字符串s在[i,j]范围内最长回文子序列的长度
        int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
        // 递推公式：两种情况
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        char[] arr = s.toCharArray();
        for (int i = s.length() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
                if (arr[i] == arr[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][arr.length - 1];
    }
}

动态规划总结

动规的题目，动态规划五步曲是最为重要的，他贯穿整个动规。

动规五部曲分别为：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

所有动规题目可以分为以下几种系列

• 基础系列
• 背包系列
• 打家劫舍系列
• 股票系列
• 子序列问题系列

每种题目一定要总结经验，分析题目的类型，是否适合使用dp，分析题目要使用的解题方法在做新题的时候是最关键的。