891. 子序列宽度之和

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 10^9 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：

输入： nums = [2,1,3]
输出： 6
解释： 子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入： nums = [2]
输出： 0

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i] <= 10^5

思路

题目要求的是所有子序列的最大值减去所有子序列的最小值

有多少个子序列？ $2^n$ 个子序列

其中，除开空的子序列，一共 $2^n - 1$个子序列

当$n$变得很大时，我们不能够枚举去做

如何优化呢？

注意到，对于每一个数字，最大值和最小值分别在什么样的序列里生效呢？

这里举最小值为例：

对于序列 $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$来说，设 $x_k$为最小值，假设有$m$个值是大于等于$x_k$的

则我们的$x_k$的值可以被累加到这一些上面

那么，这些数，一共有多少个呢？

利用排列组合容易得到：$C_m^0 + C_m^1 + C_m^2 + ... + C_m^m$ => $\sum_{i=0}^mC_m^i$ => $2^n$

一共有这么多种排列

所以，只需要把这些排列总数计算出来然后再乘以$x_k$即可

最大值一样的道理

$2^n$的计算会溢出

这里因为会用到$2^0$~$2^{n-1}$所以数，所以你可以预处理出这些值，或者采用快速幂来做这一件事情

总体时间复杂度 $O(nlogn)$

代码

class Solution {
public:
    int sumSubseqWidths(vector<int>& ve) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        sort(begin(ve), end(ve));
        auto qmi = [&](int n, int base) -> long long {
            int res = 1;
            while (base) {
                if (base & 1) res = (1ll * res * n) % MOD;
                n = (1ll * n * n) % MOD;
                base >>= 1;
            }
            return res;
        };
        long long ans = 0;
        for (int i = 0; i < ve.size(); i ++) {
            ans = ((ans - qmi(2, ve.size() - 1 - i) * ve[i]) % MOD + MOD) % MOD;   
            ans = (ans + qmi(2, i) * ve[i]) % MOD;
        }
        return ans;
    }
};