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题目

One day $n$ friends gathered together to play "Mafia". During each round of the game some player must be the supervisor and other $n - 1$ people take part in the game. For each person we know in how many rounds he wants to be a player, not the supervisor: the i-th person wants to play $a_i$ rounds. What is the minimum number of rounds of the "Mafia" game they need to play to let each person play at least as many rounds as they want?

题目大意

一天有 $n$ 个人想玩游戏，其中第 $i$ 个人想至少参与 $a_i$ 次游戏，但是每轮游戏至多有 $n-1$ 人可以参加。

对于给定的 $a_1,a_2,...,a_n$ ，试求最少举办多少次游戏，才能使得对于所有的 $1\le i \le n$ ，第 $i$ 个人参与游戏的次数不小于 $a_i$ 。

思路

最好情况是，每轮游戏都有 $n-1$ 个人参与，且不存在 $i$ 使得第 $i$ 个人参与游戏的次数大于 $a_i$ 。在这种情况下也必须要进行 $\lceil\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\rceil$ 次游戏。考虑在什么情况下举行上述次数游戏无法满足所有人的条件。

容易发现只要存在一个人想玩游戏的次数非常多，以至于大于 $\lceil\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\rceil$ ，就说明我们认为在某些次游戏中有两个他参与，这显然不合题意。所以答案不应该小于 $\max\{a_1,a_2,...,a_n\}$ 。此时答案是什么呢？
假设 $a_1\le a_2\le a_3 \le...\le a_n$ ，则

a_n>\lceil\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\rceil\\ a_n>\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\\ (n-1)a_n>\sum_{i=1}^n a_i\\ (n-1)a_n-\sum_{i=2}^n a_i>a_1\\ (n-2)a_n-\sum_{i=2}^{n-1} a_i>a_1\\ \sum_{i=2}^{n-1}(a_n-a_i)>a_1

此时 $a_n-a_i$ 表示在满足条件的情况下 $a_n$ 轮游戏中 $a_i$ 最多可以不参加的轮数，则如果 $a_n$ 轮游戏中第 $2$ 到 $n-1$ 个人一共可以不参加游戏的轮数大于 $a_1$ ，第一个人就可以参加 $a_n$ 轮游戏中的 $a_1$ 次。所以当 $\max\{a_1,a_2,...,a_n\}>\lceil\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\rceil$ 时，答案是 $\max\{a_1,a_2,...,a_n\}$ 。

否则显然可以合理安排大家参与游戏的时机，在 $\lceil\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n-1}\rceil$ 轮游戏里满足大家的需求。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
long long a[100001];
int main()
{
	int n;
	long long cnt=0;
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	long long sum=a[1]+a[n];
	for (int i=2;i<n;++i)
	{
		cnt+=a[n]-a[i];
		sum+=a[i];
	}
	printf("%lld\n",max(a[n],(sum+n-2)/(n-1)));
//	if (cnt>=a[1]) printf("%lld\n",a[n]);
//	else printf("%lld\n",);
	return 0;
}