【算法57天：Day57】第九章动态规划 最长回文子序列（516）

题目二：

思路

我们刚刚做过了 动态规划：回文子串 (opens new window)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！  回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

回文子串，可以做这两题：

• 647.回文子串
• 5.最长回文子串

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j] 。

2. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图： 

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3. dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

const strLen = s.length;
let dp = Array.from(Array(strLen), () => Array(strLen).fill(0));

for(let i = 0; i < strLen; i++) {
    dp[i][i] = 1;
}

4. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]，

也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j] 下一行的数据。 所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的。

递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 分别对应着下图中的红色箭头方向，如图：

代码如下：

for(let i = strLen - 1; i >= 0; i--) {
    for(let j = i + 1; j < strLen; j++) {
        if(s[i] === s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.length - 1]; 为最终结果。

以上分析完毕，JS代码如下：

const longestPalindromeSubseq = (s) => {
    const strLen = s.length;
    let dp = Array.from(Array(strLen), () => Array(strLen).fill(0));
    
    for(let i = 0; i < strLen; i++) {
        dp[i][i] = 1;
    }

    for(let i = strLen - 1; i >= 0; i--) {
        for(let j = i + 1; j < strLen; j++) {
            if(s[i] === s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }

    return dp[0][strLen - 1];
};