【算法57天：Day57】第九章动态规划 回文子串（647）

题目一：

动态规划

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

3. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

4. 确定遍历顺序

遍历顺序可有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

for (let i = s.length - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (let j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

以上分析完毕，JS代码如下：

const countSubstrings = (s) => {
    const strLen = s.length;
    let numOfPalindromicStr = 0;
    let dp = Array.from(Array(strLen), () => Array(strLen).fill(false));

    for(let j = 0; j < strLen; j++) {
        for(let i = 0; i <= j; i++) {
            if(s[i] === s[j]) {
                if((j - i) < 2) {
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                }
                numOfPalindromicStr += dp[i][j] ? 1 : 0;
            }
        }
    }

    return numOfPalindromicStr;
}

或者

var countSubstrings = function(s) {
    let dp = new Array(s.length).fill(false).map(item => new Array(s.length).fill(false))
    let result = 0;
    for (let i = s.length - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
        for (let j = i; j < s.length; j++) {
            if (s[i] == s[j]) {
                if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return result;
};

#双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，倾向于分别计算，代码如下：

const countSubstrings = (s) => {
    const strLen = s.length;
    let numOfPalindromicStr = 0;

    for(let i = 0; i < 2 * strLen - 1; i++) {
        let left = Math.floor(i/2);
        let right = left + i % 2;

        while(left >= 0 && right < strLen && s[left] === s[right]){
            numOfPalindromicStr++;
            left--;
            right++;
        }
    }

    return numOfPalindromicStr;
}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)