647. 回文子串
DP
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布尔类型的
dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。 -
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，
dp[i][j]一定是false。 -
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看
dp[i + 1][j - 1]是否为true。
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dp[i][j]初始化为false。 -
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据
dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1]在dp[i][j]的左下角。如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
class Solution:
def countSubstrings(self, s: str) -> int:
dp = [ [False]*len(s) for _ in range(len(s)) ]
res = 0
for i in range(len(s)-1, -1, -1):
for j in range(i, len(s)):
if s[i] == s[j]:
if j - i <= 1:
dp[i][j] = True
res += 1
elif j - i > 1 and dp[i+1][j-1]:
dp[i][j] = True
res += 1
return res
516. 最长回文子序列
DP
-
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。 -
如果s[i]与s[j]相同，那么
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; -
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
- 加入s[j]的回文子序列长度为
dp[i + 1][j]。 - 加入s[i]的回文子序列长度为
dp[i][j - 1]。 - 那么
dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
- 加入s[j]的回文子序列长度为
-
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dpi初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。 -
从递推公式
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2和dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1]和dp[i + 1][j]，也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j]下一行的数据。 所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的。
class Solution:
def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
dp = [ [0]*len(s) for _ in range(len(s)) ]
for i in range(len(s)-1, -1, -1):
for j in range(i, len(s)):
if s[i] == s[j]:
if i == j:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
else:
dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])
return dp[0][-1]
