1.封闭性质

定理 3.5.1 上下文无关语言在并、连接和Kleene星号下是封闭的。

证明： 均可以通过已有的上下文无关文法构建出一个对应的新文法来证明。
假设两个上下文无关文法$G_1 = (V_1,\Sigma_1,R_1,S_1)$和$G_2 = (V_2,\Sigma_2,R_2,S_2)$，并做一个假设，它们的非终结符不相交，即$V_1 - \Sigma_1 \; \cap \; V_2 - \Sigma_2 = \varnothing$

并: 构造下述文法，新增一个起始符$S$

其中$R = R_1 \cup R_2 \cup \{S \rightarrow S_1,S \rightarrow S_2\}$

连接: 构造如下

与并不同的是$R = R_1 \cup R_2 \cup \{S \rightarrow S_1S_2\}$

Kleen星号: 构造$L(G_1)^*$对应的文法

注意，与正则语言不同的是，上下文无关语言类在交和补下并不封闭！！！

定理 3.5.2 一个上下文无关语言与一个正则语言的交是一个上下文无关语言

可以用一台下推自动机PDA以及一台确定型有穷自动机DFA构造一台PDA来证明
假设PDA为$M_1 = (K_1,\Sigma,\Gamma_1,\Delta_1,s_1,F_1)$，而NFA为$M_2 = (K_2,\Sigma,\delta,s_2,F_2)$ 联合形成的PDA为$M = (K,\Sigma,\Gamma,\Delta,s,F)$，其中

而对于状态转移的规定如下，对于$M_1$中的每一个转移$((q_1,a,\beta),(p_1,\gamma))\in \delta_1$和$M_2$中的每一个状态$q_2 \in K_2$创建一个转移为$(((q_1,q_2),a,\beta),((p_1,\delta(q_2,a)),\gamma))$加入到$\Delta$中去。

采用笛卡尔积坐标的方式同时保留两对信息。

2.泵定理

上下文无关文法$G$的扇出是其规则右边的最大符号数，记作$\phi(G)$

引理 3.5.1 $G$的任意一颗高度为$h$的语法分析树的结果的长度不超过$\phi(G)^h$

可以通过归纳法来证明。

定理 3.5.3 设$G = (V,\Sigma,R,S)$是一个上下文无关文法。那么，$L(G)$中任一长度大于$\phi(G)^{V-\Sigma}$的字符串$w$可以写成$w= uvxyz$使得$v$或$y$不是空串，并且对每一个$n\ge 0$，$uv^nxy^nz \in L(G)$。

来看一个例子

例 3.5.2 $L = \{ a^nb^nc^n:n\ge 0 \}$不是上下文无关的。

可以令$n > \frac{1}{3}\phi(G)^{|V-\Sigma|}$，于是字符串长度满足要求。
$w = a^nb^nc^n$可以表达成$w = uvxyz$且vy不为空串，分如下两种情况讨论：

• 假设vy中a、b、c三个符号都出现，则v，y中必有一个含有至少两种符号，那么$uv^2xy^2z$中字符的排列顺序就不满足语言的要求了，因为会有不同字符交替出现的子串。
• 假设vy中只出现了三种符号中的一种或者两种，那么$uv^2xy^2z$中的a、b、c三种符号的个数又不相同，同样产生矛盾。

定理 3.5.4 上下文无关语言在交和补下不是封闭的。