Python中简单和不连续信号的连续小波变换在靠近用户的地方部署容器本工程教育（EngEd）计划由科支持。在全球范围

连续小波变换（CWT）的定义是将所有的时间信号相加，再乘以小波的移位版本。连续小波变换的输出给出了小波系数作为输出。

这些系数是尺度和位置的函数。这个过程对简单和不连续的信号都可以进行。一个不连续的小波是一个正弦波，然后是一个中正弦波。一个简单的信号是一个慢正弦波。

本教程将探讨小波和CWT的背景理论。我们还将看一下CWT和这种变换的各种应用。最后，我们讨论计算简单和不连续信号的CWT的Python代码。

前提条件

要跟上本教程，读者需要。

熟悉Python编程语言。
在你的电脑上安装Pycharm。你可以从这里下载。

CWT的理论：小波

小波是一种有效限制持续时间的波形，具有平均零值。它被定义为

$\\psi\_{a,b}(t) = \\frac{1}{sqrt a}\\psi(ffrac{t-b}{a}) a,b \\ in \`real$

这里，a和b分别称为扩张和平移参数。下面是一个小波方程的样本和它相应的小波。

Wavelet

该图是幅度图。

寻找CWT系数

信号f(t)的CWT由以下方程给出。

$CWT\_{(a,b)} = (f, \\psi\_{a,b}) = frac{1}{sqrt{a}}\\int^{+\\infin}\_{-\\infin}f(t).\\psi\*(\\frac{t-b}{a})dt$

这里， $(f, \\psi\_{a,b})$ 是内积。

CWT的结果是许多小波系数，是a 和b 的函数。对于不同形状的小波，我们计算出系数，并将其绘制在幅值轴上，如下图所示。

Wavelet plot

从原点开始的尺度轴是较低的尺度，沿轴是较高的尺度。在低尺度下，小波被压缩，这里的频率很高。

在较高的尺度上，它被拉伸，这里的频率就低。这种系数的排列方式被称为scalogram。下面是谱系图的实际图，对于一些有小波的信号来说，它是完整的。

Scalogram

CWT的应用

CWT主要用于信号的频谱分析。我们可以用它来研究频率断裂、时间不连续、信号突发、信号阻尼和振动模式。
谱图形式的CWT系数可以作为图像输入到深度神经网络，用于信号分类。

不同信号的谱系图样本显示如下。

1.频率断裂

frequency break

在信号中，有一个频率断裂。这种明显的差异可以在谱图中看到。此外，它还显示了频率在哪一点上发生了变化。

2.不连续检测

Discontinuity detection

这里，我们有一个不连续的信号。同时，我们可以看到在某一时刻，不连续发生在哪里。

使用Python对信号进行CWT处理

我们使用Python的pywavelet 库来计算CWT。Pywavelet 是Python的一个开源的小波变换软件。它将简单和高级的界面与低级别的C和Python性能相结合。此外，它还附带有Anaconda发行版。因此，我们在使用Anaconda时不需要单独安装它。

它的依赖性是：numpy,SciPy, 和Matplotlib (所有这些库都是Anaconda发布的)。

计算CWT的一般语法是。

coefs, freqs = pywt.cwt(signal, scales, wavelets)

其中。

Signal: 是阵列形式的信号。
Scales:是数组形式的CWT所使用的尺度。
Wavelets是所用小波的名称。
Coefs表示CWT系数。
Freqs:是阵列形式中与尺度相对应的频率。

还有一些其他的可选参数。这意味着你不需要定义它们。

例如。

Method:方法有卷积 (conv) 或快速傅里叶变换 (fft)。
Sampling period:是指输出频率所需的秒数。

支持的小波和它们在Python中使用的相应语法是这样的。

Mexican hat(mexh)
莫勒特(morl)
复合小波(cmorB-C)
高斯派生(gausP)
复合高斯导数(cgauP)
Shannon(shanB-C)
频率B-Spline(fbspB-C)

用于一维信号CWT的Python代码

我们首先要导入一些库。这些库如下所示。

import pywt
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Pywt 用于计算CWT，，用于数值计算，，用于绘制输出。然后我们定义要使用的时间空间、信号和刻度。numpy matplotlib

t = np.linspace(0, 1, 200)

# Finding signal by adding three different signals
signal = np.cos(2 * np.pi * 7 * t) + np.real(np.exp(-7 * (t-0.4)**2)*np.exp(1j*2*np.pi*2*(t-0.4)))
scales = np.arange(1, 31)  # No. of scales

时间空间的范围是0到1。linspace() 函数将轴分开，等于200点。这里使用的标度数是31。

现在，我们使用pywt.cwt() 函数来计算CWT，如下所示。

coef, freqs = pywt.cwt(signal, scales, 'gaus1')  # Finding CWT using gaussian wavelet

这个函数使用信号、标度和小波类型作为参数。在执行这个函数时，我们得到存储在coef 变量中的CWT系数。这个函数的另一个输出是存储在freqs 变量中的相应频率。

让我们将CWT系数以谱图的形式绘制出来。

# Plotting scalogram
plt.figure(figsize=(15, 10))
plt.imshow(abs(coef), extent=[0, 200, 30, 1], interpolation='bilinear', cmap='bone',
           aspect='auto', vmax=abs(coef).max(), vmin=abs(coef).max())
plt.gca().invert_yaxis()
plt.yticks(np.arange(1, 31, 1))
plt.xticks(np.arange(0, 201, 10))
plt.show()

在这里，我们通过假设矩阵是一个图像来绘制谱图。这就是我们使用imshow() 函数的原因。abs() 函数给出了系数的绝对值coefs 。

我们将使用的其他参数有：interpolation 。它用于软化绘图。cmap 给出了颜色映射。Yticks 和xticks 给出了x 和y 轴，而plt.show() 显示了输出绘图。

为了使我们的信号可视化，我们也可以用下面的命令绘制它。

# Plotting
plt.figure(figsize=(15, 10))
plt.plot(t, signal)
plt.grid(color='gray', linestyle=':', linewidth=0.5)
plt.show()

现在让我们执行我们的程序。

谱系图显示如下。

Scalogram

相应的信号如下图所示。

Signal plot

用于不连续信号的CWT的Python代码

我们首先导入所需的库。

import pywt
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

然后我们定义我们的信号。

Fs = 44100.0  #Samples per second
tclip = 10e-3
nos = np.int(Fs*tclip)  #No of samples in 10ms
tpoints = np.linspace(0, 10e-3, nos) #Time points
x = np.cos(2*np.pi*500*tpoints)  #cos(2*pi*f*t) signal

这里，我们的信号Fs ，采样频率为44100，信号持续时间为10ms。为了得到样本数，我们得到每秒的样本数Fs 和信号的持续时间tclip 的乘积。

如果乘积不是整数，函数int() 将其四舍五入为最接近的整数。我们还定义了时间点tpoints 和信号x 。最后，我们有一个由cos() 函数定义的余弦信号。

让我们给我们的信号引入不连续性。如下图所示，通过强迫信号在某个给定的点为0来实现。

scales = np.arange(1, 21, 1)  #No. of scales=20
x[87:89] = 0  #Giving discontinuity
x[307:309] = 0  #Giving discontinuity

我们正在强迫信号在定义的点上归零。然后，我们使用同样的函数pywt.cwt() ，计算这个信号的CWT，并使用类似的命令来绘制谱图，如下图所示。

coef, freqs = pywt.cwt(x, scales, 'gaus4')  # Finding CWT using gaussian wavelet

# Plotting scalogram
plt.figure(figsize=(15, 10))
plt.imshow(abs(coef), extent=[0, 10e-3, 20, 1], interpolation='bilinear', cmap='copper',
           aspect='auto', vmax=abs(coef).max(), vmin=abs(coef).max())
plt.gca().invert_yaxis()
plt.yticks(np.arange(1, 21, 1))
plt.xticks(np.arange(0, nos/Fs, nos/(20*Fs)))
plt.show()

# Plotting
plt.figure(figsize=(15, 10))
plt.plot(tpoints, x)
plt.grid(color='gray', linestyle=':', linewidth=0.5)
plt.show()

当我们执行这个程序时，我们将得到信号的绘图和相应的谱图绘图。

例如，该信号如下图所示。

Signal

我们可以看到，信号在2ms和7ms处分别有一个不连续点。相应的频谱图如下所示。

Scalogram

如果你看一下谱系图，我们可以看到在哪一点上出现了断点。所以它显示了CWT在分析信号方面的优势。

结论

执行CWT是分析各种信号的一个非常重要的过程。这个过程被广泛用于我们之前讨论的各个领域。信号的scalogram视图提供了关于信号的详细视觉信息。这意味着只需看一下谱图，你就可以看到信号的行为。

编码愉快!