素数的判定

数论是算法中一块很重要的内容，而素数的判定则是数论的基础

试除法

试除法是最常用也是最基本的素数判断方法，时间复杂度：O(sqrt(n))

证明：

不妨设b能整除a，那么a/b也一定可以被b整除，那么我们不妨假设a<=a/b，则可以解出a<=sqrt(b)

上面就是试除法的理论基础

代码实现：

inline bool isPrime(int x){
    if(x<2){
        return false;
    }
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

kn+i法

kn+i法是对某些不必要的情况剪支来降低复杂度的算法，时间复杂度：O(n^(1/3))

优化技巧：

我们知道，如果一个整数不是素数，那么该整数或其倍数加上不可能成为素数的倍数也一定不是素数，例如，6不是素数，那么6k+2，6k+3，6k+4，6k+6一定也不是素数，因此，我们就只需要判断6k+1，6k+5的情况即可

代码实现：

bool isPrime(long long x){
    if(n==2||n==3||n==5) return true;
    if(n%2==0||n%3==0||n%5==0||n==1) return false;
    //此时2，3，6已经不可能是素数因子
    long long c=7;
    int a[8]={4,2,4,2,4,6,2,6};
    while(c*c<=x){
        for(int i:a){
            if(x%c==0){
                return false;
            }
            c+=i;
        }
    }
    return true;
}

Miller-Rabin判定法

Miller-Rabin判别法，是目前比较稳定的大数素数判别法，时间复杂度：O(klogn)

理论基础：

该判别法的理论基础是费马小定理，也就是如果p是一个素数，它需要满足对于所有和p互素的正整数a，都有下式：

上面的方程是一个同余方程，将他翻译一下，也就是a的p-1次幂减1除以p是一个整数

算法步骤：

1.简单情况特判，n==2 返回true，其余偶数情况舍弃

2.令n=m*（2^k）+1，其中m为奇数

3.枚举小于n的素数p（至多10次），对其进行费马测试

4.费马测试过程如下：计算pre=p^m%n，如果pre==1，测试失效，进行下一个数的测试，否则进行k次计算next=pre^2%n,

如果满足next==1&&pre!=1&&pre!=n-1，则n必定是合数，直接返回即可，k次计算后，如果pre的值不是1，则n必定是合数

5.直到10次测试结束之后，如果都没有检测出n是合数，则n是素数

关于费马测试：

看到这里，很多读者会疑惑这个费马测试是干啥的，下面介绍一下：

所谓费马测试，其实是一种概率型测试，也就是说它判断的是这个数是素数的概率，那么它究竟是拿什么判断的呢？

当然就是我们之前提及的费马小定理，费马小定理说，p是一个素数就满足上述公式

为了解释清楚算法的原理，我们介绍一下二次探测引理：

二次探测引理指出：如果p是一个素数，并且0<x<p，那么方程：

$$x^{2}\equiv1(mod\; p)$$

的解为x=1，或者x=p-1

该引理的证明如下：

$$易知:x^{2}-1\equiv 0(mod\;p)\\ (x+1)(x-1)\equiv 0(mod \;p)\\ 即:(x-1)(x+1)|p\\ 又因为p是素数\\ x=1或x=p-1$$

我们在费马测试的过程当中，枚举了小于n的素数p，我们可以这样想：

$$由于n是奇数，故n-1为偶数，不妨设为n-1=2t，于是a^{n-1}=(a^{t})^{2}\\ 那么如果a^{t}\equiv \pm1(mod\;n),我们直接返回是素数就好了，进一步，如果n-1=2^{k}t,那么我们反复嵌套上面得过程即可\\ 这样一来，从a^{t}开始得序列就只有可能是:\\ \pm1,1,1,1 ...\\ 或者:\\ \ne\pm1,\ne\pm1...-1(第k个必须是-1) 其余情况直接返回合数即可$$

由于费马小定理只是一种必要条件而非充要条件，因此存在极少数得特例，这些特例也被叫做“绝对伪素数”

代码实现：

typedef long long ll;
ll quick_multiply(ll a,ll b,ll m){  //快速乘，取模为m
    ll ans=0,temp=a;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans+temp)%m;
        }
        temp=(temp+temp)%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=1,temp=a;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=quick_multiply(ans,temp,m);
        }
        temp=quick_multiply(temp,temp,m);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll Miller_Rabin(ll n){
    if(n==2) return true;
    if(n<2||!(n&1)) return false;
    int k=0,t=n-1;
    while(!(k&1)){
        k++;
        t>>=1;
    }
    for(int i=0;i<=10;i++){
        ll a=rand()%(n-1)+1;
        ll b=quick_pow(a,t,n);
        ll y;
        for(int i=0;i<k;i++){
            y=quick_multiply(b,b,n);
            if(y==1&&b!=1&&b!=n-1){
                return false;
            }
            b=y;
        }
        if(y!=-1){
            return false;
        }
    }
    return true;
}