1143. 最长公共子序列
动态规划
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dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j] -
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); -
先看看dpi应该是多少呢？test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以
dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
dp = [ [0]*(len(text2)+1) for _ in range(len(text1)+1) ]
for i in range(1, len(text1)+1):
for j in range(1, len(text2)+1):
if text1[i-1] == text2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
1035. 不相交的线
动态规划
- 与1143. 最长公共子序列完全一样
- 绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
- 所以本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
class Solution:
def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
dp = [ [0]*(len(nums2)+1) for _ in range(len(nums1)+1) ]
for i in range(1, len(nums1)+1):
for j in range(1, len(nums2)+1):
if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
53. 最大子数组和
动态规划
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dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i] 。
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dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
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从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即
dp[0] = nums[0]。 -
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
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注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp中最大的数
# Time Complexity: O(N)
# Space Complexity: O(N)
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
for i in range(1, len(nums)):
dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
return max(dp)
贪心
- 局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。
- 全局最优：选取最大“连续和”
- 局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。
# Time Complexity: O(N)
# Space Complexity: O(1)
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
res = float('-inf')
cur = 0
for num in nums:
cur += num
if cur > res:
res = cur
if cur < 0:
cur = 0
return res
