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题目

题目大意

对于给定的正整数 $x$ ，有 $n$ 组询问，每组询问要求对于给定的 $l$ 和 $r$ 回答：

\sum_{k=l}^r[gcd(kx\oplus x,x)=1]

即求有多少个正整数 $k$ 满足 $l\le k\le r$ ，且 $k\times x$ 与 $x$ 进行异或运算后，取得的结果与 $x$ 的最大公约数是 $1$ 。

思路

显然

\sum_{k=l}^r[gcd(kx\oplus x,x)=1]

可以转化为

\sum_{k=0}^r[gcd(kx\oplus x,x)=1]-\sum_{k=0}^l[gcd(kx\oplus x,x)=1]

令 $solve(R)$ 表示 $\sum_{k=0}^R[gcd(kx\oplus x,x)=1]$ ，考虑怎样求 $solve(R)$ 。

因为 $a\oplus b=a+b-(a\&b)$ ，而 $x\mid kx$ ，所以 $gcd(kx\oplus x,x)=gcd(kx\&x,x)$ 。这说明 $gcd(kx\oplus x,x)$ 的值只与 $kx$ 的后 $\lceil log_2(x)\rceil$ 个二进制位有关。即

\begin{aligned} gcd(kx\oplus x,x)&=gcd((kx)\mod 2^{\lceil log_2(x)\rceil}\oplus x,x)\\ &=gcd((k\mod 2^{\lceil log_2(x)\rceil}\times x\mod 2^{\lceil log_2(x)\rceil})\oplus x,x)\\ &=gcd((k\mod 2^{\lceil log_2(x)\rceil}\times x)\oplus x,x)\\ \end{aligned}

所以令 $f(k)$ 表示 $gcd(kx\oplus x,x)$ ，则 $f(k)$ 具有循环节，为 $2^{\lceil log_2(x)\rceil}$ 。

我们只需要先暴力的求出一个循环节内 $f(k)=1$ 的 $k$ 的个数，并对于满足 $1\le j\le 2^{\lceil log_2(x)\rceil}$ 的正整数 $j$ 预处理出 $1$ 到 $j$ 里合法的 $k$ 的数量为 $gd_j$ ，就可以 $O(1)$ 的计算

solve(R)=\lfloor\frac{R}{2^{\lceil log_2(x)\rceil}}\rfloor\times gd_{2^{\lceil log_2(x)\rceil}}+gd_{R\mod 2^{\lceil log_2(x)\rceil}}

对于给定的 $l$ 和 $r$ 输出 $solve(r)-solve(l-1)$ 即可。

代码

#include <algorithm>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N=1048577;
using LL=long long;
int n,x,cnt;
int gd[N];
int gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL solve(LL R)
{
	return R/cnt*gd[cnt]+gd[R%cnt];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&x,&n);
	for (int i=x;i;i>>=1) cnt++;
	cnt=1<<cnt;
	for (LL i=1;i<=cnt;++i)
		gd[i]=gd[i-1]+(gcd(i*x&x,x)==1);
	while (n--)
	{
		LL l,r;
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
	}
	return 0;
}