【算法50天：Day50】第九章动态规划 买卖股票的最佳时机IV（188）

题目二：

思路

这道题目可以说是动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)的进阶版，这里要求至多有k次交易。

动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

在动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

所以二维dp数组的JS定义为：

let dp = new Array(prices.lengh).fill(0).map(x => new Array(2 * k + 1).fill(0);

2. 确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (let j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

3. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，

从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。

所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.length - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

以上分析完毕，JS代码如下：

// 方法一：动态规划
var maxProfit = function(k, prices) {
    if (prices.length < 2 || k === 0) return 0
    let len = prices.length
    let dp = new Array(len).fill(0).map(x => new Array(2 * k + 1).fill(0))

    for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
        dp[0][j] = -prices[0]
    }
    // j的状态-》 0： 无操作  奇数：买入  偶数：卖出
    for (let i = 1; i < len; i ++) {
        for (let j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]) 
            dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i])
        }
    }
    return dp[len - 1][2 * k]
};

 // 方法二：动态规划+空间优化
var maxProfit = function(k, prices) {
    let len = prices.length
    let dp = new Array(2 * k + 1).fill(0)
    // dp 买入状态初始化
    for (let i = 1; i < 2 * k; i += 2) {
        dp[i] = -prices[0]
    }
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        for (let j = 1; j < 2 * k + 1; j++) {
            if (j % 2) {
                // j 为奇数：买入状态
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i]) 
            } else {
                // j为偶数：卖出状态
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] + prices[i]) 
            }
        }
    }
    return dp[2 * k]
};