123.买卖股票的最佳时机III

题目链接：123.买卖股票的最佳时机III

思路：本题的关键在于至多可以买卖两次，每天就会有五种状态情况。

0. 没有操作
1. 第一次买入股票状态
2. 第一次卖出股票状态
3. 第二次买入股票状态
4. 第二次卖出股票状态

动态规划五步曲分析：

1. dp[i][j]中的i表示第i天，j表示当天的状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩的最大金额。
2. 到达dp[i][1]有两种方式，一个是沿用第i-1天买入股票的状态dp[i - 1][1]，另一个是第i-1天没有操作，第i天买入-prices[i] + dp[i-1][0]。

所以递推公式：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i] + dp[i-1][0])

到达dp[i][2]也有两种方式，一个是沿用第i-1天的卖出的状态dp[i - 1][2]，另一个是第i - 1天是买入状态，第i天卖出prices[i] + dp[i - 1][1]。

递推公式：dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], prices[i] + dp[i - 1][1])

同理可以推出dp[i][3]和dp[i][4]的递推公式。

3. 初始化

• dp[0][0] = 0;
• dp[0][1] = -prices[0];
• dp[0][2] = 0;
• dp[0][3] = -prices[0];
• dp[0][4] = 0;

4. 遍历顺序，由递推公式可以看出需要从前向后遍历
5. 举例说明

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];
        dp[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i < dp[0].length; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
            dp[0][i + 1] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            for (int j = 1; j < dp[i].length; j += 2) {
                dp[i][j] = Math.max(-prices[i] + dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]);
                dp[i][j + 1] = Math.max(prices[i] + dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][2 * k];
    }
}

188.买卖股票的最佳时机IV

题目链接：188.买卖股票的最佳时机IV

思路：本题是上一题的进阶，找出上一题的规律即可做出本题。

动态规划五步曲：

1. dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]。除了0以外，j是偶数就是卖出，j是奇数就是买入。j的范围可以定义为2 * k + 1。
2. 递推公式与上一题相同。
3. 初始化方式与上一题相同。
4. 遍历顺序为从前向后遍历
5. 举例说明。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];
        dp[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i < dp[0].length; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
            dp[0][i + 1] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            for (int j = 1; j < dp[i].length; j += 2) {
                dp[i][j] = Math.max(-prices[i] + dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]);
                dp[i][j + 1] = Math.max(prices[i] + dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][2 * k];
    }
}