123. 买卖股票的最佳时机 III
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作
- 第一次买入
- 第一次卖出
- 第二次买入
- 第二次卖出
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。 -
确定递推公式
需要注意：
dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。达到dpi状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i] - 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么
dp[i][1]究竟选dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？一定是选最大的，所以
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);同理dpi也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] - 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：
dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]); - 操作一：第i天买入股票了，那么
-
dp数组的初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：
dp[0][0] = 0;第0天做第一次买入的操作，
dp[0][1] = -prices[0];第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，
从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。
所以
dp[0][2] = 0;第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：
dp[0][3] = -prices[0];同理第二次卖出初始化
dp[0][4] = 0; -
确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为
dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 1:
return 0
# 0: 没有操作 (do nothing)
# 1: 第一次买入 (first time buying(at the day or have bought before))
# 2: 第一次卖出 (first time selling (at the day or have sold before))
# 3: 第二次买入 (second time buying(at the day or have bought before))
# 4: 第二次卖出 (second time selling(at the day or have sold before))
dp = [ [0]*5 for _ in range(len(prices)) ]
dp[0][1] = -prices[0]
dp[0][3] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
dp[i][0] = dp[i-1][0]
dp[i][1] = max(dp[i-1][0]-prices[i], dp[i-1][1])
dp[i][2] = max(dp[i-1][1]+prices[i], dp[i-1][2])
dp[i][3] = max(dp[i-1][2]-prices[i], dp[i-1][3])
dp[i][4] = max(dp[i-1][3]+prices[i], dp[i-1][4])
return dp[-1][4]
188. 买卖股票的最佳时机 IV
动态规划
- 和上题一样，只是除了0以外的下标处理不同。奇数下标代表买入，偶数下标代表卖出。一共有(2k+1)个下标（k次交易分别要有买入和卖出两种状态，加上一个没有操作的下标0，一共2*k+1个。
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 1:
return 0
dp = [0] * (2*k+1)
for i in range(1, 2*k+1， 2):
dp[i] = -prices[0]
for i in range(len(prices)):
for j in range(1, 2*k+1):
if j % 2 == 1:
dp[j] = max(dp[j-1]-prices[i], dp[j])
else:
dp[j] = max(dp[j-1]+prices[i], dp[j])
return dp[-1]
