\frac(分数)

做题技巧

已知道一个函数的结果，那个这个结果的反函数就是原函数

一元二次方程求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\ln{x}=a \to x=e^a$

基础函数

对数

$\log_aMN=\log_aM+\log_aN$

$\log_a{\frac{M}{N}}=\frac{\log_aM}{\log_aN}$

$\log_aM^N=N\log_aM$

三角函数常用

$\tan^2{x}=\sec^2{x}-1$

通用

泰勒公式

$e^x=1+x+{\frac{x^2}{2!}}+...+{\frac{x^n}{n!}}+O(x^n)$

$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+...+{(-1)^{m-1}{\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+O({x^{2m}})}}$

$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+O(x^{2m+1})$

$\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}{\frac{x^n}{n}}+O(x^n)$

$(1+x)^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}.x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}.x^n+O(x^n)$

$\tan{x}=x+\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

$\arcsin{x}=x+\frac{1}{6}x^3+O(x^3)$

$\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

奇偶性

偶+偶=偶

奇+奇=奇

奇+偶=啥也不是

偶偶=偶

奇奇=偶

奇偶=奇

极限

极限存在 = 只有一个固定的数

两个公式相除

$(1+x)^a=(1+x)^{\frac{1}{x}.x.a}=e^{ax}$（只能无穷小时用）

无穷小（$\displaystyle\lim_{x\to0}$）

==等价无穷小只能用于乘除法==

==分子分母可以先只转换一个==

1. 凑一起
2. 等价无穷小公式带一带
3. 凑等价无穷小
4. 洛必达
5. $(1+x)^a = (1+x)^{\frac{1}{x} *x*a} = e^{xa}$

无穷大（$\displaystyle\lim_{x\to\infty}$）

1. 洛必达法则
2. 分子一大堆加法 除 分母一大堆加法
   • 分子分母最高阶的阶数一样，分子分母同事除$x^{最高阶}$（目的：将无穷大变成无穷小）
3. 上下变成趋向于0
4. 无理，有理互相换
5. 如果分子分母没有同阶的，则极限不存在

两个公式相乘

1. 想办法搞出来个分母
2. 往这俩公式里套
   • $u(x)^{v(x)} = e^{v(x)ln{(u(x))}}$
   • $(1+x)^a = (1+x)^{\frac{1}{x} *x*a} = e^{xa}$
3. Demo

幂函数

两个公式，一个不行用另一个

$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)ln{(u(x))}}$==通用==

$(1+x)^a = (1+x)^{1/x *x*a} = e^{xa}$==只能无穷小用==

数列

夹逼定理

两个公式相加

例如$b\leq(a+b)\leq{b+b}$其中，$a<b$

数列

把所有项的分母都变成最小的，那个就是最大值，吧所有项分母变成最大的，那个就是最小值

泰勒公式

$e^x=1+x+{\frac{x^2}{2!}}+...+{\frac{x^n}{n!}}+O(x^n)$

$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+...+{(-1)^{m-1}{\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+O({x^{2m}})}}$

$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+O(x^{2m+1})$

$\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}{\frac{x^n}{n}}+O(x^n)$

$(1+x)^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}.x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}.x^n+O(x^n)$

$\tan{x}=x+\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

$\arcsin{x}=x+\frac{1}{6}x^3+O(x^3)$

$\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

定积分定义

间断点

第一类间断点：f(a+0)和f(a-0)都存在，当f(a+0)=f(a-0)称为可去间断点，不相等成为跳跃间断点

第二类间断点：f(a+0)和f(a-0)至少有一个至少有一个不存在。特殊的，当$f(a+0)=f(a-0)=\infty$则称为无穷间断点（两边只要有一个无穷大就行）

倒数（\dot）==未刷题==

点左右两边极限相等，且点的左右也相等

常用倒数

通用

$\dot{c}=0$

$\dot{x^a}=ax^{a-1}$

$\dot{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}$

$\dot{a^x}=a^x\ln{a}$

$\dot{e^x}=e^x$

$\dot{\log_a{x}}=\frac{1}{x\ln{a}}$

$\dot{\ln{x}}=\frac{1}{x}$

三角函数

$\dot{\sin{x}}=\cos{x}$

$\dot{\cos{x}}=-\sin{x}$

$\dot{\tan{x}}=\sec^2{x}$

$\dot{\cot{x}}=-\csc^2{x}$

$\dot{\sec{x}}=\sec{x}\tan{x}$

$\dot{\csc{x}}=-\csc{x}\cot{x}$

反三角函数

$\dot{\arcsin{x}}=\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$

$\dot{\arccos{x}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\dot{\arctan{x}}=\frac{1}{1+x^2}$

$\dot{arccot{x}}=-\frac{1}{1+x^2}$

四则

$\dot{[f(x){\pm}g(x)]}=\dot{f(x)}\pm\dot{g(x)}$

$\dot{[f(x)g(x)]}=\dot{f(x)}.g(x)+f(x).\dot{g(x)}$

$\dot{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\dot{f(x)}.g(x)-f(x).\dot{g(x)}}{[g(x)]^2}$

莱布尼兹公式

函数f=nv

则$(nv)^n=\displaystyle\sum^{m}_{k=0}C_n^ku^{(n-k)}v^k$

高阶

高阶导数用两个泰勒公式去搞

$f(x)=f(x_0)+\dot{f(x0)}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+O((x-x_0)^n)$

他再和常规的泰勒公式相等，吧除了$f^{n}(x_0)$的其他东西都移动到另一边

技巧

可导一定连续，反过来不成立

可微一定可导

$\dot{y}$的微分就是$y$

$\frac{dy}{dx}|_{x=0}=\dot{y(0)}$

如果遇到$ax^{bx}$需要求导，则变成$e^{bx\ln{ax}}$再求导

二阶导数小于0是极大值，大于0是极小值

中值定理（==需要复习==）

罗尔中值定理

设$f(x){\in}C[a,b]$，且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则一定存在c$\in$(a,b)，使得$\dot{f(c)}=0$

人话：一条线，两点相等，那么中间一定有一个点是平的

拉格朗日中值定理

设$f(x){\in}C[a,b]$，且在(a,b)内可导，且存在c$\in$(a,b)，使得$\dot{f(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

人话：两点连线的导数必然是函数上某一个点的导数

柯西中值定理

设f(x),g(x)$\in$c[a,b]，在(a,b)上可导，且$\dot{g(x)}\ne0(a\lt{x}\lt{b})$，则存在c$\in$(a,b)，使$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\dot{f(c)}}{\dot{g(c)}}$

洛必达法则

只适用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，分子分母同时求导

泰勒公式

$e^x=1+x+{\frac{x^2}{2!}}+...+{\frac{x^n}{n!}}+O(x^n)$

$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+...+{(-1)^{m-1}{\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+O({x^{2m}})}}$

$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+O(x^{2m+1})$

$\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}{\frac{x^n}{n}}+O(x^n)$

$(1+x)^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}.x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}.x^n+O(x^n)$

$\tan{x}=x+\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

$\arcsin{x}=x+\frac{1}{6}x^3+O(x^3)$

$\arctan{x}=x-\frac{1}{3}x^3+O(x^3)$

渐近线

水平渐近线

若$\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}f(x)=A$，称y=A为f(x)的水平渐近线==趋向无穷得到的值==

铅直渐近线

若$\displaystyle\lim_{x\to{a}}=\infty$或$f(a-0)=\infty$或$f(a+0)=\infty$，称x=a为f(x)的铅直渐近线==找趋向于无穷的点==

斜渐近线

若$\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}\frac{f(x)}{x}=a(a\ne0 \&\& a\ne{\infty})$，$\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}[f(x)-ax]=b$，称$y=ax+b$为f(x)的斜渐近线

曲率

$k=\frac{|\dot{\dot{y}}|}{(1+\dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$

半径计算公式：$R=\frac{1}{k}$

不定积分(\int)

不定积分公式

类型1（一个整数积分）

$\int{k}dx=kx+c$

---

类型2（$x^a$的积分）

$\int{x^a}dx=\frac{1}{a+1}.x^{a+1}+c$ 特殊情况：$\int{\frac{1}{x}}dx=\ln{|x|}+c$

---

类型3（$a^x$的积分）

$\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+c$ 特殊情况：$\int{e^x}dx=e^x+c$

---

类型4（三角函数的积分）

$\int{\sin{x}}dx=-\cos{x}+c$

$\int{\cos{x}}dx=\sin{x}+c$

$\int{\tan{x}}dx=-\ln{|\cos{x}|}+c$

$\int{\cot{x}}dx=\ln{|\sin{x}|}+c$

$\int{\sec{x}}dx=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c$

$\int{\csc{x}}dx=\ln{|\csc{x}-\cot{x}|}+c$

$\int{\sec^2{x}}dx=\tan{x}+c$

$\int{\csc^2x}dx=-cot{x}+c$

$\int{\sec{x}tan{x}}dx=\sec{x}+c$

$\int{\csc{x}\cot{x}}dx=-\csc{x}+c$

---

类型5（一坨$\pm$一坨的积分）

$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin{x}+c$ 特殊的：==$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+c$==

$\int{\frac{dx}{1+x^2}}=\arctan{x}+c$ 特殊的：$\int{\frac{dx}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+c$

$\int{\frac{dx}{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+c$ 特殊的：==$\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}+c$==

==$\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c$== 特殊的：$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+c$

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}$

常用不定积分小技巧

若$g(x)=\int f(x)dx$，则$\dot{g(x)}=f(x)$

换元积分法

玄学

第一类换元积分法

把积分往基础公式里凑

第二类换元积分法（==复习==）

$a^2-x^2$，令$x=a\sin{t}$，则$a^2-x^2=a^2\cos^2{t}$

$a^2+x^2$，令$x=a\tan{t}$，则$x^2+a^2=a^2\sec^2{t}$

$x^2-a^2$，令$x=a\sec{t}$，则$x^2-a^2=a^2\tan^2{t}$

分步积分法

$\int{a}db=ab-\int{b}da$

幂函数与指数

幂函数与对数函数

幂函数与三件函数

幂函数与范三角函数

指数与三角函数

$\sec^n{x}$或$\csc^n{x}$

想法

常规

分母有$\sqrt{x}$，就要往$\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}}dx=\sqrt{x}$上想

分母底下一坨$\pm$一坨，就想基础公式类型5

遇到$\tan^2{x}$就想$1+\tan^2{x}=\sec^2x$

分母是完全平方式

1、把分母变成$(x+a)^2+b^2$，在把分母想办法往$(x+a)$上凑，注意，凑完的剩下的公式要能计算

2、如果上述不可用（主要是剩下的公式无法计算），看分母的导数是多少，再把分子往分母的导数上凑

3、上述方法还是不行，把分母公式化为两个公式相乘，两个公式加减法试试看能不能凑出分子

非官方，但遇到八百回的公式

$\int{1+\ln{x}}dx=x\ln{x}$

$\int{\frac{1}{x\ln{x}}}dx = \ln{(\ln{x})}$

$\int\ln{x}dx=x\ln{x}-x$

$\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}}dx=\sqrt{x}$

$\int{\frac{1}{x^2}}dx=-\frac{1}{x}$

$\int{\frac{dx}{1+\cos{x}}}=\tan{\frac{x}{2}}$

$\int{\sin{2x}}dx = \sin^2x$

$\int{xe^x}dx=(x-1)e^x$

$\int\frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}$

$\int{xe^x}dx=(x-1)*e^x$

$\int{\sin^ax}=a\cos{x}\sin^{a-1}{x}$

$\int\frac{1}{1+x}dx=ln|1+x|$

定积分

换元积分法上下限的问题

有一个公式：$\int_0^\infty{1/a}dx$

设$x = {1/a}$,则$a=1/x$，上弦为$1/\infty = 0$，下限为$1/0 = \infty$

人话：x=f(a)变成a=g(x)，然后将原来的上下限放入f(a)中，求出来的就是对应的上下限

变限积分求导数

普通积分

注意t里不能有x

$\dot{\int_a^xf(t)dt}=f(x)$上下限换一下，就是前面加个负号

$\dot{\int_a^xtf(t)dt}=xf(x)$

$\int^{u(x)}_af(t)dt=f[u(x)]\dot{(u(x))}$

$\dot{\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt}=f[u(x)]\dot{u(x)}-f[v(x)]\dot{v(x)}$

乘积

换元

$\int_0^xxf(x-t)dt$，另$u=x-t$，则原式=$\int_x^0xf(u)d(x-u)=x\int_0^xf(u)du$

所以$\dot{\int_0^xxf(x-t)dt}=\int_0^xf(u)fu+xf(u)$

公式

$\int_b^au(x)dv(x)=u(x)v(x)|_b^a-\int_b^av(x)du(x)$

定积分的面积和体积（==需补充==）

收敛性(==需补充==)

反常函数积分

弧长

直角坐标 设$L:y=f(x)(a\leq x\leq b)$，则曲线L的长度为$l=\int_a^b\sqrt{1+(\dot{f{(x)}})^2}dx$

参数方程 设$L:\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，则曲线L的长度为$l=\int_a^b\sqrt{\dot{\varphi^2(t)}+\dot{\psi^2{(x)}}}dx$

设$L:r=r(\theta)$，则曲线L的长度为$l=\int_a^b\sqrt{r^2(\theta)+\dot{r^2{(\theta)}}}dx$

曲率

$k=\frac{|\dot{\dot{y}}|}{(1+\{\dot{y}\}^2)^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径

$R=\frac{1}{k}$

多元函数微分学（\part）(==需要复习==)

偏导数

显函数求偏导

二元函数求偏导

直接求导：$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}$就是对x求导，同样$\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$就是对y求导，而且只有对f(x,y)也就是说函数表达式里有x和y时求才能用

$f_x(a,b)$的意思是$\frac{\part{z}}{\part{x}}$在$(a,b)$这个点上的值（偷懒法：如果是对x求偏导，则可以先把b带进去y，再求导）

三元函数求偏导

如果对$f(x,y,z)$求x的偏导，就把y和z看成常数，就可以了

高阶求偏导

$\frac{\part{z^2}}{\part{x}\part{y}}$是指先对x求偏导，再对y求偏导

$\frac{\part{z^2}}{\part{y}\part{x}}$是指先对x求偏导，再对y求偏导

抽象函数求偏导

对$f(a(x,y),b(x,y))$求倒

$\dot{f_{ab}}$和$\dot{f_{ba}}$是一样的，必须合并

例题：

==求偏导的反问题==

偏导的代数应用

==微分方程==

基本概念

阶：

解：

通解：

特解：

初始化条件：

一阶微分方程

可分离变量

$\frac{dy}{dx}=f(y)g(x)\\\frac{dy}{f(y)}=g(x)dx$

之后两边积分，就可以了

齐次

$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

线性

齐次

$\dot{y}+p(x)y=0$（人话就是结果是个0）

通解公式：$y=Ce^{-\int{P(x)}dx}$

非齐次

$\dot{y}+p(x)y=Q(x)$（人话就是结果是个公式）

通解公式：$y=e^{-\int{P(x)}dx}[\int{Q(x)e^{\int{P(x)}dx}}dx+c]$

可降阶

类型1

$y^{(n)}=f(x)$

解法：直接多次积分

类型2

$f(x,\dot{y},\dot{\dot{y}})=0$（人话就是缺少y）

解法：

令$\dot{y}=\frac{dy}{dx}=p$，则$\dot{\dot{y}}=\frac{dp}{dx}$，原式变成$f(x,p,\frac{dp}{dx})=0$

解出$p=\varphi(x,C_1)$，则原式的通解：$y=\int{\varphi(x,C_1)}dx+C_2$

类型3

$f(y,\dot{y},\dot{\dot{y}})=0$（人话就是没x）

解法：

令$\dot{y}=p$，则$\dot{\dot{y}}=\frac{dp}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，原式变成$f(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$

解出$p=\varphi(y,C_1)$或$\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx$，两边街分得$\int{\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}}=x+C_2$，再求通解

高阶微分方程

二阶常系数齐次线性方程

$\dot{\dot{y}}+p\dot{y}+qy=0$

先变成特征方程，即$\lambda^2+p\lambda+q=0$，解开这个二元一次公式，就会获得两个值，那两个值就是特征值，公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

如果$p^2-4q>0$时，两个特征值$\lambda_1\neq\lambda_2$，则原方程通解为$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$

如果$p^2-4q=0$时，两个特征值$\lambda_1=\lambda_2$，则原方程通解为$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$

如果$p^2-4q<0$时，两个共轭虚根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$，则原方程通解为$y=e^{ax}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$

二阶常系数非齐次线性方程

$\dot{\dot{y}}+p\dot{y}+qy=f(x)$（人话：结果是个函数）

1. 求出通解
2. 求出$y^*$

如果$f(x)=P_n(x)e^{kx}$（$p_n(x)$是x的多项式）

1. $y^*=e^{kx}(n次多项式)x^\alpha$
2. 先看k是不是特征值，如果一个都不是$\alpha=0$，如果有一个相同$\alpha=1$，如果都一样$\alpha=2$

如果$f(x)=e^{\alpha{x}}[P_t(x)\cos\beta{x}+P_s(x)\sin\beta{x}]$

1. 先取t和s的最大值$l$
2. $y^*=e^{\alpha{x}}[Q_l^{(1)}\cos\beta{x}+Q_l{(2)}\sin\beta{x}]x^{k}$（Q就跟着感觉，随便写个a，b就行）
3. $\alpha\pm\beta{i}$，再和特征值比较，如果一个都不是$k=0$，如果有一个相同$k=1$，如果都一样$k=2$

==重积分==

行列式(\left|\begin{matrix}\end{matrix}\right|)

性质

1. 某行加上，或减去另一行的几倍，行列式不变
2. 某行乘K，等于K乘此行列式（可以多行）
3. 互换两行或两列，行列式变号
4. 某行或某列全是0，则该行列式等于0
5. 两行或两列相同或乘比例时，行列式为0
6. 某行或某列为两项相加减时，行列式可拆分成两个行列式相加减
7. 行列式等于行列式的某行或者某列的元素与其对应的代数余子式之积的和
8. 行列式的某行或某列的元素与另外一行或某列相应元素的代数余子式之积的和为0
9. 当改变某行或者某列的元素时，该行或列对应的代数余子式不变
10. 行列式的i和j行或列元素的的代数余子式之积，等于把j行或列的元素替换成i行或列，所以等于0
11. 当行列式的某行或某列零元素很多时，一般采用按行或列展开计算
12. $|KA|=K^n|A|$，K为常数

概念

余子式：$a_{ij}$的余子式就是去掉$a_{ij}$的行和列，计为$M_{ij}$

代数余子式：$(-1)^{i+j}M_{ij}$就是$a_{ij}$的代数余子式，记为$A_{ij}$

置换：将行列式的行变成列，将列变成行，如$D$的置换行列式为$D^T$

伴随矩阵：矩阵A的余子矩阵的置换矩阵，记为$A^*$

常规N阶行列式计算

二&三阶

坐上乘右下 - 右上乘左下；demo：$\left|\begin{array}{cccc}a&b\\c&d\end{array}\right| = ad-bc$

左上到右下乘起来，再减右上到左下乘

多阶

若行列式为$\left|\begin{array}{cccc}&&a\\&b&\\c&&\end{array}\right|$则称这个行列式为负对角线行列式，值为$a*b*c*(-1)^{\frac{n*(n-1)}{2}}$

使右下角变成0

demo：

计算公式 & 技巧

斜线相同，上下三角形都一样

范德蒙行列式

人话：第二行，最后那个数减去前面的数，再相乘

分块行列式

设A,B,C,D都是行列式，其中C和D其中，至少有一个是0，则

$\left|\begin{matrix}A&C\\D&B\end{matrix}\right|=|A|\times|B|$

若A和B分别为m行矩阵和N行矩阵，则$\left|\begin{matrix}C&A\\B&D\end{matrix}\right|=-1^{mn}|A|\times|B|$

n阶方阵对应的行列式的性质：

1. $|A^T|=|A|$
2. $|kA|=k^n|A|$
3. $|AB|=|A|\times|B|$（A,B都是方矩阵）
4. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$（根据$A.A^{-1}=E$推算得出来的）
5. $|A^*|=|A|^{n-1}$

行列式的应用——克拉默法则

给一个方程组，判断其解的情况

方程组	D$\neq$0	D=0
齐次（只有x和0）	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次（有常数项存在）	只有一组非零解	有多个解或者无解

把x项整齐的拿下来，组成行列式，行列式结果就是D，demo：

==特征多项式==

$|\lambda E-A|=0$

网课上的

第六类

多个A或M相加减

多个A相加：如$3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}$把$A_{ij}$所在的位置替换成系数，就是行列式

多个M相加：

矩阵

1. $A\times A^*=|A|\times E$

网课上的

定义

矩阵只有加减和乘，没有除法

E=$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1$

$A\times B\neq B\times A$

$A\times X=A \times Y$不能确定X=Y

$(AB)^k$不一定等于$A^kB^k$

$A^2+(k+j)AB+kjB^2$不一定等于$(A+kB)(A+jB)$，但当B或A为E时，则可以用

加减

demo:

相乘

前行*后列），demo：

绝对值（取行列式）

demo：

题型

转置

$A^T$的意思是行变成列，列变成行

$(AB)^T=A^TB^T$

$|A^T|=|A|$

Demo:

可逆

矩阵为方形矩阵（行列相同）；$|A|\neq0$或者存在一个矩阵B，满足AB=E或BA=E，则证明矩阵A有可逆矩阵；

只要不满足任意一条，则没有可逆矩阵

求逆矩阵

已知A，求$A^{-1}$

demo:

利用$A.A^{-1}=E$或$A^{-1}.A=E$进行计算

利用$A.A^*=|A|E$或$A^*.A=|A|E$计算

求矩阵的秩

已知A，求R(A)，意思是下一行左边的0一定要比上一行左边的0多，或者从某行开始向下，全是0，最后几行是有非0数的，就是R(A)=几行

已知矩阵的秩，求矩阵里的未知数