【算法49天：Day49】第九章动态规划 买卖股票的最佳时机（121）

题目一：

思路

#暴力

这道题目最直观的想法，就是暴力，找最优间距了。

var maxProfit = function(prices) {
    let result = 0
    for (let i = 0; i < prices.length; i++) {
        for (let j = i + 1; j < prices.length; j++) {
            result = Math.max(result, prices[j] - prices[i])
        }
    }
    return result
};

当然该方法超时了。

#贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

JS代码如下：

var maxProfit = function(prices) {
    let low  = Infinity
    let result = 0
    for (let i = 0; i < prices.length; i++) {
        low = Math.min(low, prices[i])
        result = Math.max(result, prices[i] - low)
    }
    return result
};

动态规划

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2. 确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递归公式我们就分析完了

3. dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4. 确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

以上分析完毕，JS代码如下：

const maxProfit = prices => {
    const len = prices.length;
    // 创建dp数组
    const dp = new Array(len).fill([0, 0]);
    // dp数组初始化
    dp[0] = [-prices[0], 0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        // 更新dp[i]
        dp[i] = [
            Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]),
            Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]),
        ];
    }
    return dp[len - 1][1];
};