1.下推自动机(PushDown Autumata)定义

不同于有限自动机，PDA能够“记住”输入串中的一部分字符，具备存储功能。
相对应的模块称为栈或下推存储器，只允许读写顶部的符号。

Elements of the Theory of Computation

接下来给出形式化的定义：

定义 3.3.1 下推自动机是一个六元组$M = (K,\Sigma,\Gamma,\Delta,s,F)$，其中\

$K$是有穷的状态集合
$\Sigma$是所有输入符号的字母表
$\Gamma$是所有栈符号的字母表
$s \in K$是初始状态
$F \subseteq K$是终结状体的集合
$\Delta$是转移关系，它是$(K \times (\Sigma \; \cup \; \{e\})\times\Gamma^*) \times (K \times \Gamma^*)$的有穷子集

对于$M$的一个转移$((p,a,\beta),(q,\gamma)) \in \Delta$，可以解释为：
当$M$处于状态$p$、栈顶为$\beta$时，它可以从输入带读入$a$，在栈顶用$\gamma$替换$\beta$，然后进入状态$q$。

推入：把一个符号加到栈顶上
如：$((p,u,e),(q,a))$推入a

托出：把一个符号从栈顶移去
如：$((p,u,a),(q,e))$托出a

下面定义PDA的格局为$K \times \Sigma^* \times \Gamma^*$的成员
第一个分量为机器的状态
第二个分量是尚未读过的输入部分
第三个分量是存储器中的内容，自顶向下

2.一些例子

例 3.3.1 让我们来设计一个PDA接受语言$L = \{ wcw^R : w\in \{a,b\}^*\}$

令$M = (K,\Sigma,\Gamma,\Delta,s,F)$，其中$K = \{s,f\}$，$\Sigma = \{ a,b,c \}$，$\Gamma = \{ a,b \}$，$F = \{f\}$，而$\Delta$包含下述五个转移：

$(1) ((s,a,e),(s,a))$
$(2) ((s,b,e),(s,b))$
$(3) ((s,c,e),(f,e))$
$(4) ((f,a,a),(f,e))$
$(5) ((f,b,b),(f,e))$

其中转移(1)和转移(2)的作用是将$w$部分的字符记录在栈中，
转移(3)的作用是对应识别$c$，并且状态转移到f中，
转移(4)(5)的作用是检验$w^R$，检验当前读取字符与栈顶元素是否相同，并且从栈顶托出。

例 3.3.3 接着设计一个PDA接受语言$L = \{ w \in \{a,b\}^* : a,b个数相同\}$

令$M = (K,\Sigma,\Gamma,\Delta,s,F)$，其中$K = \{s,q,f\}$，$\Sigma = \{ a,b \}$，$\Gamma = \{ a,b,c \}$，$F = \{f\}$，而$\Delta$包含下述转移：

$(1) ((s,e,e),(q,c))$
$(2) ((q,a,c),(q,ac))$
$(3) ((q,a,a),(q,aa))$
$(4) ((q,a,b),(q,e))$
$(5) ((q,b,c),(q,bc))$
$(6) ((q,b,b),(q,bb))$
$(7) ((q,b,a),(q,e))$
$(8) ((q,e,c),(f,e))$

其中转移(1)的作用是在起始状态下往栈底填入$c$以标识栈底位置，转移(2)(3)(5)(6)均为读取相应字符并且填入栈顶。转移(4)(7)则是消去当前与栈顶元素不同的元素。转移(8)是到达栈底进入终止状态。