题目二：
动态规划
首先考虑最简单的情况。如果只有一间房屋，则偷窃该房屋，可以偷窃到最高总金额。如果只有两间房屋，则由于两间房屋相邻，不能同时偷窃，只能偷窃其中的一间房屋，因此选择其中金额较高的房屋进行偷窃，可以偷窃到最高总金额。
注意到当房屋数量不超过两间时，最多只能偷窃一间房屋，因此不需要考虑首尾相连的问题。如果房屋数量大于两间，就必须考虑首尾相连的问题，第一间房屋和最后一间房屋不能同时偷窃。
如何才能保证第一间房屋和最后一间房屋不同时偷窃呢？如果偷窃了第一间房屋，则不能偷窃最后一间房屋，因此偷窃房屋的范围是第一间房屋到最后第二间房屋；如果偷窃了最后一间房屋，则不能偷窃第一间房屋，因此偷窃房屋的范围是第二间房屋到最后一间房屋。
假设数组 nums 的长度为 nn。如果不偷窃最后一间房屋，则偷窃房屋的下标范围是 [0,n−2]；如果不偷窃第一间房屋，则偷窃房屋的下标范围是 [1,n−1]。在确定偷窃房屋的下标范围之后，即可用第 198 题的方法解决。对于两段下标范围分别计算可以偷窃到的最高总金额，其中的最大值即为在 n 间房屋中可以偷窃到的最高总金额。
假设偷窃房屋的下标范围是 [start,end]，dp[i] 表示在下标范围 [start,i] 内可以偷窃到的最高总金额，那么就有如下的状态转移方程：
dp[i] = Math.max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])
边界条件为：
dp[start] = nums[start] // 只有一间房屋，则偷窃该房屋
dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]) // 只有两间房屋，偷窃其中金额较高的房屋
计算得到dp[end] 即为下标范围[start, end] 内可以偷窃到的最高总金额。
分别取 (start, end) = (0, n−2) 和 (start, end) = (1, n−1) 进行计算，取两个dp[end] 中的最大值，即可得到最终结果。
根据上述思路，可以得到时间复杂度O(n) 和空间复杂度 O(n) 的实现。考虑到每间房屋的最高总金额只和该房屋的前两间房屋的最高总金额相关，因此可以使用滚动数组，在每个时刻只需要存储前两间房屋的最高总金额，将空间复杂度降到 O(1)。
var rob = function(nums) {
const length = nums.length;
if (length === 1) {
return nums[0];
} else if (length === 2) {
return Math.max(nums[0], nums[1]);
}
return Math.max(robRange(nums, 0, length - 2), robRange(nums, 1, length - 1));
};
const robRange = (nums, start, end) => {
let first = nums[start], second = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
for (let i = start + 2; i <= end; i++) {
const temp = second;
second = Math.max(first + nums[i], second);
first = temp;
}
return second;
}
思路
这道题目和198.打家劫舍 (opens new window)是差不多的，唯一区别就是成环了。
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
注意我这里用的是"考虑" ，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。
而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍 (opens new window)就是一样的了。
代码如下：
var rob = function(nums) {
const n = nums.length
if (n === 0) return 0
if (n === 1) return nums[0]
const result1 = robRange(nums, 0, n - 2) // 情况二
const result2 = robRange(nums, 1, n - 1) // 情况三
return Math.max(result1, result2)
};
const robRange = (nums, start, end) => {
if (end === start) return nums[start]
const dp = Array(nums.length).fill(0)
dp[start] = nums[start]
dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1])
for (let i = start + 2; i <= end; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])
}
return dp[end]
}
总结
成环之后还是难了一些的， 不少题解没有把“考虑房间”和“偷房间”说清楚。
这就导致大家会有这样的困惑：情况三怎么就包含了情况一了呢？ 本文图中最后一间房不能偷啊，偷了一定不是最优结果。
所以我在本文重点强调了情况一二三是“考虑”的范围，而具体房间偷与不偷交给递推公式去抉择。
这样大家就不难理解情况二和情况三包含了情况一了。
