139.单词拆分

思路：本题可以使用记忆化回溯，不再过多介绍，主要讲解完全背包方法。

动态规划五步曲

dp[j] 表示长度为j的字符串是否可以由字典组成
如果dp[j - i]是true，并且[i, j]这个区间的子串在字典中出现，那么就让dp[j] = true
初始化dp[0] = true，表示如果是空字符串可以由字典中的字符组成（一个也不使用）
本题依然是两种遍历顺序都可以，但是如果先遍历物品，再遍历背包容量，操作较为复杂，需要借助额外空间，所以本题选择先遍历背包容量，再遍历物品。（这种方式也更好理解）
举例说明

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        // dp[j] 表示长度为j的字符串是否可以由字典组成
        boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
        // 递推公式：if (dp[j - i] && [i, j]的字符串可以由字典组成) dp[j] = true
        // 初始化
        dp[0] = true;
        // 这里先遍历物品还是先遍历背包都可以
        for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
            for (int i = 0; i < wordDict.size(); i++) {
                if (j >= wordDict.get(i).length()) {
                    if (dp[j - wordDict.get(i).length()] && wordDict.contains(s.substring(j - wordDict.get(i).length(), j))) {
                        dp[j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return dp[s.length()];
    }
}

多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的，为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题。

解题思路也都是将其转换成01背包来解决。

public void testMultiPack1(){
    // 版本一：改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}

public void testMultiPack2(){
    // 版本二：改变遍历个数
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }
}

背包问题总结

背包问题里最关键的两步就是递推公式和遍历顺序，主要对这两部分进行概括和总结。

递推公式

若问能否装满背包，或背包最多能装多少，一般递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
若问装满背包有几种方法，一般递推公式为：dp[j] += dp[j - nums[i]]
若问背包装满时的最大价值，一般递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
若问装满背包所有物品最小数量，一般递推公式为：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

遍历顺序

01背包

若使用二维dp数组，则遍历顺序比较随意，先遍历背包容量还是先遍历物品都可以，背包容量从大到小从小到大都可以。

若使用一维dp数组（滚动数组），只能先遍历物品再遍历背包容量，且背包容量必须从大到小进行遍历。

完全背包

对于完全背包使用一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包容量都是可以的，背包容量需要从小到大进行遍历。

但是对于不同的题目，物品和背包容量的遍历顺序是不一样的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

其他类型的题目也要根据具体情况进行分析。

代码随想录算法训练营第四十六天|139.单词拆分、多重背包