题目三：
思路
可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。
我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，而且和昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)就是一样一样的！
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = Math.min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = Math.min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包，
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
我这里先给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码：
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0;
for (let i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (let j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
dp[0] = 0
dp[1] = Math.min(dp[0] + 1) = 1
dp[2] = Math.min(dp[1] + 1) = 2
dp[3] = Math.min(dp[2] + 1) = 3
dp[4] = Math.minn(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
dp[5] = Math.min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果。
JS代码
以上动规五部曲分析完毕JS代码如下：
// 先遍历物品，再遍历背包
var numSquares1 = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0
for(let i = 1; i**2 <= n; i++) {
let val = i**2
for(let j = val; j <= n; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1)
}
}
return dp[n]
};
// 先遍历背包，再遍历物品
var numSquares2 = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
dp[0] = 0
for(let i = 1; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])
}
}
return dp[n]
};
总结
如果大家认真做了昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)，今天这道就非常简单了，一样的套路一样的味道。
但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话，做动态规划或者做背包问题，上来就做这道题，那还是挺难的！
经过前面的训练这道题已经是简单题了，哈哈哈
