动态规划：关于完全背包，你该了解这些！

#完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

在下面的讲解中，我依然举这个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

每件商品都有无限个！

问背包能背的物品最大价值是多少？

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：

首先在回顾一下01背包的核心代码

for(let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    for(let j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
    for(let j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

至于为什么，我在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中也做了讲解。

dp状态图如下：

动态规划-完全背包

相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？

难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？

看过这两篇的话：

就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！

因为dp[j] 是根据下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

动态规划-完全背包1

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

动态规划-完全背包2

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(let i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

JS测试代码

完整的JS测试代码如下：

// 先遍历物品，再遍历背包容量
function test_completePack1() {
    let weight = [1, 3, 5]
    let value = [15, 20, 30]
    let bagWeight = 4 
    let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
    for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
        for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
        }
    }
    console.log(dp)
}

// 先遍历背包容量，再遍历物品
function test_completePack2() {
    let weight = [1, 3, 5]
    let value = [15, 20, 30]
    let bagWeight = 4 
    let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
    for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
        for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
            if (j >= weight[i]) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
            }
        }
    }
    console.log(2, dp);
}

总结

细心的同学可能发现，全文说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

最后，又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后在问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？ 这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。

【算法44天：Day44】第九章动态规划 完全背包理论基础

动态规划：关于完全背包，你该了解这些！

#完全背包

JS测试代码

总结

【算法44天：Day44】第九章动态规划完全背包理论基础