1.语法分析树的定义

给出上下文无关文法 $G = (V,\Sigma,R,S)$ ,其中

\begin{aligned} V &= \{ S,(,) \} \\ \Sigma &= \{ (,) \} \\ R &= \{ S \rightarrow e,\\ &S \rightarrow SS, \\ &S \rightarrow (S)\} \end{aligned}

则字符串 $()()$ 至少可以由如下两种方式推导得到

S \Rightarrow SS \Rightarrow (S)S \Rightarrow ()S \Rightarrow ()(S) \Rightarrow ()()

或者

S \Rightarrow SS \Rightarrow S(S) \Rightarrow (S)(S) \Rightarrow (S)() \Rightarrow ()()

这两种推导从某种意义上来说是相同的。直观上都能由下图表示：

这样的图称为语法分析树。途中的点叫做顶点，每个顶点有一个标记，标记是 $V$ 中的一个符号。最上面的顶点叫做根，最底层的顶点叫做树叶。树叶都标记终结符，也可能标记空串 $e$ 。从左到右连接树叶的标记，得到推导出来的终结符串，称作语法分析树的结果。

2.例子

例3.2.1 设 $G = (V,\Sigma,R,S)$ 是一个上下文无关文法， $D = x_1 \Rightarrow x_2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow x_n$ 和 $D' = x_1' \Rightarrow x_2' \Rightarrow \cdots \Rightarrow x_n'$ 是 $G$ 中的两个推导，其中 $x_i,x_i' \in V^*,i = 1,\cdots n$ 且 $x_1,x_1' \in V - \Sigma,x_n,x_n' \in \Sigma^*$ 。如果 $n>2$ 且存在整数 $k,1<k<n$ 使得

\begin{aligned} &(1)对所有的i \neq k,有x_i = x_i';\\ &(2)x_{k-1} = x_{k-1}' = uAvBw,此处u,v,w \in V^*,A,B \in V-\Sigma; \\ &(3)x_k = uyvBw,此处A \rightarrow y \in R;\\ &(4)x_k' = uAvzw,此处B \rightarrow z \in R;\\ &(5)x_{k+1} = x_{k+1}' = uyvzw; \end{aligned}

则称 $D$ 先于 $D'$ ，记作 $D \prec D'$ 。

例3.2.2 考虑下面三个推导

\begin{aligned} &D_1 = S \Rightarrow SS \Rightarrow (S)S \Rightarrow ((S))S \Rightarrow (())S \Rightarrow (())(S) \Rightarrow (())() \\ &D_2 = S \Rightarrow SS \Rightarrow (S)S \Rightarrow ((S))S \Rightarrow ((S))(S) \Rightarrow (())(S) \Rightarrow (())() \\ &D_3 = S \Rightarrow SS \Rightarrow (S)S \Rightarrow ((S))S \Rightarrow ((S))(S) \Rightarrow ((S))() \Rightarrow (())() \end{aligned}

可见 $D_1 \prec D_2$ 和 $D_2 \prec D_3$ ，但是没有 $D_1 \prec D_3$ 。
如果有序对 $(D,D')$ 属于 $\prec$ 的自反对称传递闭包，则称这两个推导是相似的。

每一个在相似性下的等价类，即每一颗语法分析树，有一个推导在 $\prec$ 下是极大的，即没有先于它的推导。
这个推导叫做最左推导。可以从根的标记开始，依据规则反复替换当前字符串中最左边的非终结符得到。
类似的，最右推导是不先于任何其他推导的推导。

3.定理

设 $G = (V,\Sigma,R,S)$ 是一个上下文无关文法， $A \in V - \Sigma$ 以及 $w \in \Sigma^*$ ，则下述命题等价

\begin{aligned} &(a) A \stackrel{*}{\Rightarrow} w \\ &(b) 有一颗根为A、结果为w的语法树 \\ &(c) 有最左推导A \stackrel{L^*}{\Rightarrow} w \\ &(d) 有最右推导A \stackrel{R^*}{\Rightarrow} w \\ \end{aligned}

语法分析树(Parse Trees)

1.语法分析树的定义

2.例子

3.定理