70. 爬楼梯
动态规划
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
- dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
- 本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]那么递推公式为：
dp[i] += dp[i - j] - 既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！ 所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
dp = [0]*(n + 1)
dp[0] = 1
m = 2
# 遍历背包
for j in range(n + 1):
# 遍历物品
for step in range(1, m + 1):
if j >= step:
dp[j] += dp[j - step]
return dp[n]
322. 零钱兑换
动态规划
- dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。递推公式：
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); - 首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么
dp[0] = 0; - 考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。
- 本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
- 所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！ 那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
class Solution:
def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
dp = [amount + 1] * (amount + 1)
dp[0] = 0
for coin in coins:
for j in range(coin, amount + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coin] + 1)
return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1
279. 完全平方数
动态规划
- dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]); - dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。非0下标的dp[j]应该是多少呢？从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 本题是求最小数！所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
class Solution:
def numSquares(self, n: int) -> int:
max_num = math.floor(math.sqrt(n))
nums = [ num ** 2 for num in range(1, max_num + 1)]
dp = [n+1] * (n + 1)
dp[0] = 0
for num in nums:
for j in range(num, n + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[j-num] + 1)
return dp[n]
