完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
-
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
-
首先在回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }
-
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！
-
先遍历背包在遍历物品，代码如下：
// 先遍历背包，再遍历物品 for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } cout << endl; }
- 对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！ 但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
# 先遍历物品，再遍历背包
def test_complete_pack1():
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bag_weight = 4
dp = [0]*(bag_weight + 1)
for i in range(len(weight)):
for j in range(weight[i], bag_weight + 1):
# put in item i or not
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print(dp[bag_weight])
# 先遍历背包，再遍历物品
def test_complete_pack2():
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bag_weight = 4
dp = [0]*(bag_weight + 1)
for j in range(bag_weight + 1):
for i in range(len(weight)):
if j >= weight[i]:
# put in item i or not
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print(dp[bag_weight])
if __name__ == '__main__':
test_complete_pack1()
test_complete_pack2()
518. 零钱兑换 II
动态规划
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j] -
确定递推公式
dp[j]（考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。所以递推公式：
dp[j] += dp[j - coins[i]];求装满背包有几种方法，一般公式都是：
dp[j] += dp[j - nums[i]]; -
dp数组的初始化
首先
dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。从
dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。下标非0的
dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j] -
确定遍历顺序
因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
-
外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
-
如果把两个for交换顺序
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
-
-
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
- 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
dp = [0] * (amount + 1)
dp[0] = 1
for coin in coins:
for j in range(coin, amount + 1):
dp[j] += dp[ j - coin ]
return dp[amount]
377. 组合总和 Ⅳ
动态规划
- 本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
- 弄清什么是组合，什么是排列很重要。组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
- 所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
dp = [0] * (target + 1)
dp[0] = 1
for j in range(target+1):
for num in nums:
if j >= num:
dp[j] += dp[j-num]
return dp[target]
