「算法修炼」 Leetcode - 二分法

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二分法

二分查找是一个在有序数组中查找特定元素的搜索算法，尤其是面对大量的数据时，其查找效率极高，时间复杂度是log(n)。

什么时候可以用二分法？

• 前提：元素有序 (或数据具有二段性)
• 查找某个值
• 给一个值求插入位置
• 判断是否存在某个值
• 利用二分思路求最大最小值

二分法查找的思路

二分法查找的思路如下 ：

1. 首先，从数组的中间元素开始搜索，如果该元素正好是目标元素，则搜索过程结束，否则执行下一步。
2. 如果目标元素大于/小于中间元素，则在数组大于/小于中间元素的那一半区间查找，然后重复步骤「1」的操作。
3. 如果某一步数组为空，则表示找不到目标元素。

二分法的思路很简单，无非就是每次根据中值判断目标值是在哪个区间，然后缩减区间到原来的一半，直至找到结果。二分法最容易出错的地方在于边界和细节处理，大体逻辑并不难写出，我们往往死在细节处理上。

例如：

• 是while(left < right) 还是 while(left <= right)？
• 是 right = middle 还是 right = middle - 1 ？

在二分查找的过程中，要循环不变量规则，就是在while循环里，寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作。

二分法的边界模板

1. 左闭右闭的区间写法[left,right]： while(left <= right) ，left的改变为left = mid + 1,right的改变为right = mid - 1;

2. 左闭右开的区间写法[left,right) : while(left < right) ，left的改变为left = mid + 1,right的改变为right = mid;

解题套路

以leetcode 题目 704.二分查找为例，分别用两种写法解答

题目：给定一个n个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

1. 左闭右闭区间[left,right]

   • 采用左闭右闭区间写法，右区间端点可以取到，nums[right]是存在的，所以right初始值为nums.length - 1,而不是nums.length 。
   • 同样的，在闭区间 [left,right]中，left === right是有意义的，要考虑到相等的情况，所以while循环里要用 <= ,即 while(left <= right)
   • 当nums[middle] > target时，当前这个nums[middle]一定不是target，所以左区间结束位置的下标是 middle - 1，而不是middle， 即 right = middle - 1

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var search = function(nums, target) {
  // 已知数组升序且不重复，寻找目标值
  // 考虑使用二分法求解

  // 采用写法一，左闭右闭区间
  let left = 0 ,right = nums.length - 1
  // 区间左闭右闭，所以left === right是有意义的 ，所以要用 <= ,即 left <= right
  while(left <= right){
    const middle = parseInt((left + right) / 2)
    // 分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节
    if (nums[middle] === target) { 
      // 找到目标值
      return middle
    } else if(nums[middle] > target) {
      // 当前这个nums[middle]一定不是target,所以左区间结束位置的下标就是 middle - 1, 即 right = middle - 1
      right = middle - 1
    } else if (nums[middle] < target){
      // 
      left = middle + 1
    }
  }
  return -1
};
// @lc code=end

2. 左闭右开区间[left,right)

   • 采用左闭右开区间写法，右区间端点不能取到，nums[right]不存在，此时right初始值可以为nums.length。
   • 同样的，在左闭右开区间 [left,right)中，nums[right]的情况没有意义，也就不用考虑left === right的情况，所以while循环里要用 < ,即 while(left < right)
   • 当nums[middle] > target时，此时左区间结束位置的下标可以是middle,而不是middle - 1 ，因为区间左闭右开，当right = middle，也不会与nums[middle]比较。

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
 var search = function(nums, target) {
  // 采用写法二，左闭右开区间
  let left = 0 ,right = nums.length
  // 区间左闭右开，所以left === right是没有意义的 ，所以要用 < ,即 left < right
  while(left < right){
    const middle = parseInt((left + right) / 2)
    // 分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节
    if (nums[middle] === target) { 
      // 找到目标值
      return middle
    } else if(nums[middle] > target) {
      // 循环不变量规则 - 区间是左闭右开
      // 此时左区间结束位置的下标就算是 middle,因为区间左闭右开，也不会与nums[middle]比较
      right = middle 
    } else if (nums[middle] < target){
      // 
      left = middle + 1
    }
  }
  return -1
};
// @lc code=end

3. 总结

两种写法的对比	左闭右闭[left,right]	左闭右开[left,right)
right初始值	nums.length - 1	nums.length
while循环不变量	while(left ≤ right)	while(left < right)
当nums[middle] > target时	right = middle - 1	right = middle

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