第四章 向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性

• 向量组及其线性组合
• 向量组的线性相关性
• 向量组的秩
• 线性方程组的解的结构

向量组及其线性组合

• 定义1
  n 个有次序的数 a1,a2,…,an所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai称为第 i 个分量

分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量

1. 列向量与行向量
   
   
2. 向量组
   若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

• 定义2
  

这里的系数k、λ可以全为0，但是 λ 全为0时，b为0，变成了齐次方程组

• 定理1
  向量 b 能由向量组 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am)的秩等于矩阵 B = (a1, a2, …, am, b)

证明向量b能由向量组A线性表示的方式：

1. 定义法
2. r(A) = r(A, b)

A 与 B 等价，则 r(A) = r(B)，反之不正确

• 应用

  • 求向量 b 能被 向量组 a 线性表示的表达式
  • 求向量组 a、b 等价

向量组的线性相关性

向量组A线性相关的充要条件是存在 ai 可由其他向量线性表示

• 定理4
  向量组 A: a1, a2, …, am 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = (a1, a2, …, am) 的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件是 R(A) = m

子集合相关 => 整体必相关
低维向量无关 => 高维必无关

• 应用

  • 求向量组是否线性相关（重要例题 P89）
    
    
    
    

向量组的秩

若向量组 A 线性无关，则 A 自身就是它的最大无关组，而其秩就等于它所含向量的个数

定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

• 应用

  • 求最大无关组（重要例题 P94）
    

线性方程组的解的结构

• 性质1
  若 x = ξ1，x = ξ2 为向量组 Ax = 0 的解，则 x = ξ1 + ξ2 也是向量方程的解
• 性质2
  若 x = ξ1 为向量方程 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = kξ1 也是向量方程的解

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性的基础解系

• 应用
  求齐次线性方程组的基础解系和通解（重要例题 P99-100）
• 性质3
  设 x = η1 及 x = η2 都是向量方程 Ax = b 的解，则 x = η1 - η2 为对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的解
• 性质4
  设 x = η 是方程 Ax = b 的解，x = ξ 是方程 Ax = 0 的解，则 x = η + ξ 仍是方程 Ax = b 的解

非齐次方程的通解 = 对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解

• 应用
  求非齐次方程的通解（重要例题 P103-104）