1049. 最后一块石头的重量 II
动态规划
- 本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
- 是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
- 背包容量为sum/2
- Sum - dp[sum/2] = remain_left
- 在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
# Time complexity: O(M*N) M是石头总重量（准确的说是总重量的一半），N为石头块数
# Space complexity: O(M)
class Solution:
def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
sum_stones = sum(stones)
target = sum_stones // 2
dp = [0] * (target + 1)
for i in range(len(stones)):
for j in range(target, stones[i] - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]] + stones[i])
return sum_stones - 2 * dp[target]
494. 目标和
动态规划
-
假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。所以我们要求的是 x - (sum - x) = S -> x = (S + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法。
-
(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响：
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
-
为什么是01背包呢？
- 因为每个物品（题目中的1）只用一次！
- 这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
- 本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法 -
确定递推公式
不考虑
nums[i]的情况下，填满容量为j的背包，有dp[j]种方法。那么考虑
nums[i]的话（只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]]种方法。所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]] -
dp数组如何初始化
从递归公式可以看出，在初始化的时候
dp[0]一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
class Solution:
def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
# left - right = target
# right = sum - left
# left - (sum - left) = target -> left = (target + sum) / 2
sum_of_nums = sum(nums)
if abs(target) > sum_of_nums or (target + sum_of_nums) % 2 == 1:
return 0
left = (target + sum_of_nums) // 2
dp = [0] * (left + 1)
dp[0] = 1
for i in range(len(nums)):
for j in range(left, nums[i] - 1, -1):
dp[j] += dp[j - nums[i]]
return dp[left]
474. 一和零
动态规划
-
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！ 而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
-
本题其实是01背包问题！这不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。 -
确定递推公式
dp[i][j]可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j]就可以是dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取
dp[i][j]的最大值。所以递推公式：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1); -
dp数组如何初始化
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dpi不会被初始值覆盖。
-
确定遍历顺序
外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
class Solution:
def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
dp = [ [0] * (n + 1) for _ in range(m + 1) ]
for str in strs:
ones = str.count('1')
zeros = str.count('0')
for i in range(m, zeros-1, -1):
for j in range(n, ones-1, -1):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-zeros][j-ones] + 1)
return dp[m][n]
