R方是统计学里常用的统计量，在不同任务模型下的解读和用途不一，有时候会出现误用情况。本文总结了对R方的理解和用法，遵循“从一般到特殊”的思路，先讲一般回归模型中的R方，再讲线性回归模型里的R方。"一般"回归模型包括线性模型，随机森林，神经网络等。

• R方的定义

R方的名字是coefficient of determination，另一个名字是Nash–Sutcliffe model efficiency coefficient。给定一系列真值 $y_i$ 和对应的预测值$\hat y_i$, 另有$\bar y$为期望均值，R方的定义为

$R^2=1-\frac{\sum_i (\hat y_i-y_i)^2}{\sum_i(y_i-\bar y)^2}$

R方的含义是，预测值解释了 $y_i$ 变量的方差的多大比例，衡量的是预测值对于真值的拟合好坏程度。通俗理解，假定 $y_i$ 的方差为1个单位，则R方表示"使用该模型之后， $y_i$的残差的方差减少了多少"。比如R方等于0.8，则使用该模型之后残差的方差为原始 $y_i$ 值方差的20%。

后边的分式中，分子是预测值与真实值的差方和，分母是真实值与均值的差方和，对一个样本来说，分母是固定的，当分子上预测值和真实值相当接近时，分子就非常的小，R方值就趋近于1，表示预测的就越准；如果预测值和均值很接近，那么分式就比较接近于1，R方接近于0，也就是胡乱用平均值来应付预测也可以得到一个R方为0的结果；如果预测值和真实值差别相当的大，后边的分式结果就比较大了，方差值就非常小（当然可能是负数，比用平均值来预测都差的结果啊）。

• R方=1：最理想情况，所有的预测值等于真值。
• R方=0：一种可能情况是"简单预测所有y值等于y平均值"，即所有 $\hat y_i$ 都等于$\bar y$（即真实y值的平均数），但也有其他可能。
• R方<0：模型预测能力差，比"简单预测所有y值等于y平均值"的效果还差。这表示可能用了错误模型，或者模型假设不合理。
• R方的最小值没有下限，因为预测可以任意程度的差。因此，R方的范围是 (−∞,1] 。
• 注意：R方并不是某个数的平方，因此可以是负值。

Python里的scikit-learn包里，sklearn.metrics.r2_score即是R方的实现。sklearn的RandomForestRegressor等回归模型中，带有score(self, X, y)的函数，这个函数返回的是根据X得到的预测值和真值y的R方。