01背包问题（二维）
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即**
dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。 -
确定递推公式
再回顾一下
dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有两个方向推出来
dp[i][j]，- 不放物品
i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。) - 放物品
i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]]为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]（物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); - 不放物品
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dp数组的初始化
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首先从
dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。 -
状态转移方程
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);可以看出i是由i-1推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。 -
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当j < weight[0]的时候，dp[0][j]应该是0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j]应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。 dp[0][j] = 0; } // 正序遍历 for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) { dp[0][j] = value[0]; } -
dp[0][j]和dp[i][0]都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？其实从递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);可以看出dp[i][j]是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。初始-1，初始-2，初始100，都可以！但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
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确定遍历顺序
- 那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？* 其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解*。
- 虽然两个for循环遍历的次序不同，但是
dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
def knapsack_problem_2d(bag_size, weights, values): rows, cols = len(values), bag_size + 1 dp = [[0] * cols for _ in range(rows)] # initialize row 0 for j in range(weights[0], cols): dp[0][j] = values[0] for i in range(1, rows): cur_weight, cur_val = weights[i], values[i] for j in range(1, cols): if cur_weight > j: dp[i][j] = dp[i - 1][j] else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - cur_weight] + cur_val) return dp[-1][-1] if __name__ == "__main__": bag_size = 4 weight = [1, 3, 4] value = [15, 20, 30] knapsack_problem_2d(bag_size, weight, value)
01背包问题（一维滚动数组）
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
在一维dp数组中，
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。 -
确定递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。dp[j - weight[i]] + value[i]表示 容量为j- 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）此时
dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把
dp[i][j]中i的维度去掉了。 -
dp数组的初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
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确定遍历顺序
- 一维dp遍历的时候，背包是从大到小。倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！ 。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
- 再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？ 不可以！
def knapsack_problem_1d(bag_size, weights, values): dp = [0] * (bag_size + 1) for i in range(len(values)): cur_weight, cur_val = weights[i], values[i] for j in range(bag_size, cur_weight - 1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - cur_weight] + cur_val) return dp[-1] if __name__ == "__main__": bag_size = 4 weight = [1, 3, 4] value = [15, 20, 30] print(knapsack_problem_1d(bag_size, weight, value))
416. 分割等和子集
动态规划
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01背包问题：
- 背包容量为sum/2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
class Solution:
def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
target = sum(nums)
if target % 2 == 1:
return False
partition_sum = target // 2
dp = [0] * (partition_sum + 1)
for i in range(len(nums)):
for j in range(partition_sum, nums[i] - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
return dp[partition_sum] == partition_sum
