343. 整数拆分
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。 -
确定递推公式
可以想
dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到
dp[i].一个是
j * (i - j)直接相乘。一个是
j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)。 -
dp数组的初始化
严格从
dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1]就不应该初始化，也就是没有意义的数值。只初始化
dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1 -
确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));dp[i]是依靠dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样
dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
# Time complexity: O(N^2)
# Space complexity: O(N)
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp = [0] * (n + 1)
dp[2] = 1
for i in range(3, n + 1):
# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
for j in range(1, i - 1):
# 在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，我们取最大的值。
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
return dp[n]
贪心
- 每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
# Time complexity: O(N)
# Space complexity: O(1)
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
if n == 2:
return 1
if n == 3:
return 2
if n == 4:
return 4
result = 1
while n > 4:
result *= 3
n -= 3
result *= n
return result
96. 不同的二叉搜索树
动态规划
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] 。也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。
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确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。所以递推公式：
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];，j-1为j为头结点左子树节点数量，i-j为以j为头结点右子树节点数量(有j-1个比j小的，i-j个比j大的) -
dp数组的初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是
dp[0]。从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
从递归公式上来讲，
dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化
dp[0] = 1 -
确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
# Time complexity: O(N^2)
# Space complexity: O(N)
class Solution:
def numTrees(self, n: int) -> int:
dp = [0] * (n+1)
dp[0] = 1
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, i+1):
dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
return dp[n]
