【算法39天：Day39】第九章动态规划 不同路径II（63）

题目二：

思路

这道题相对于62.不同路径 (opens new window)就是有了障碍。

第一次接触这种题目的同学可能会有点懵，这有障碍了，应该怎么算呢？

62.不同路径 (opens new window)中我们已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。

动规五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2. 确定递推公式

递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

所以代码为：

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3. dp数组如何初始化

在62.不同路径 (opens new window)不同路径中我们给出如下的初始化：

const dp = new Array(m).fill(0).map(item => new Array(n).fill(0)) // 初始值为0
for (let i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] === 0; i++) {
    dp[i][0] = 1
}
for (let j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] === 0; j++) {
    dp[0][j] = 1
}

因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

如图：

下标(0, j)的初始化情况同理。

所以本题初始化代码为：

for (let i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] === 0; i++) {
    dp[i][0] = 1
}
for (let j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] === 0; j++) {
    dp[0][j] = 1
}

注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid[i][0] == 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作，dp[0][j]同理

4. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

代码如下：

for (let i = 1; i < m; i++) {
    for (let j = 1; j < n; j++) {
        if(obstacleGrid[i][j] === 1) {
            dp[i][j] = 0
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

拿示例1来举例如题：

对应的dp table 如图：

如果这个图看不同，建议在理解一下递归公式，然后照着文章中说的遍历顺序，自己推导一下​！​

动规五部分分析完毕，对应JS代码如下：

var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
    const m = obstacleGrid.length
    const n = obstacleGrid[0].length
    
    const dp = new Array(m).fill(0).map(item => new Array(n).fill(0))

    for (let i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] === 0; i++) {
        dp[i][0] = 1
    }
    for (let j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] === 0; j++) {
        dp[0][j] = 1
    }
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            if(obstacleGrid[i][j] === 1) {
                dp[i][j] = 0
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
            }
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1]
};

总结

本题是62.不同路径 (opens new window)的障碍版，整体思路大体一致。

但就算是做过62.不同路径，在做本题也会有感觉遇到障碍无从下手。

其实只要考虑到，遇到障碍dp[i][j]保持0就可以了。

也有一些小细节，例如：初始化的部分，很容易忽略了障碍之后应该都是0的情况。