夯实算法-48.找出所有子集的异或总和再求和

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题目：LeetCode

一个数组的 异或总和 定义为数组中所有元素按位 XOR 的结果；如果数组为 空 ，则异或总和为 0 。

例如，数组 [2,5,6] 的 异或总和 为 2 XOR 5 XOR 6 = 1 。 给你一个数组 nums ，请你求出 nums 中每个 子集 的 异或总和 ，计算并返回这些值相加之 和 。

注意：在本题中，元素 相同 的不同子集应 多次 计数。

数组 a 是数组 b 的一个 子集 的前提条件是：从 b 删除几个（也可能不删除）元素能够得到 a 。

示例 1：

输入：nums = [1,3]
输出：6
解释：[1,3] 共有 4 个子集：
- 空子集的异或总和是 0 。
- [1] 的异或总和为 1 。
- [3] 的异或总和为 3 。
- [1,3] 的异或总和为 1 XOR 3 = 2 。
0 + 1 + 3 + 2 = 6

示例 2：

输入：nums = [5,1,6]
输出：28
解释：[5,1,6] 共有 8 个子集：
- 空子集的异或总和是 0 。
- [5] 的异或总和为 5 。
- [1] 的异或总和为 1 。
- [6] 的异或总和为 6 。
- [5,1] 的异或总和为 5 XOR 1 = 4 。
- [5,6] 的异或总和为 5 XOR 6 = 3 。
- [1,6] 的异或总和为 1 XOR 6 = 7 。
- [5,1,6] 的异或总和为 5 XOR 1 XOR 6 = 2 。
0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28

示例 3：

输入：nums = [3,4,5,6,7,8]
输出：480
解释：每个子集的全部异或总和值之和为 480 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 12
• 1 <= nums[i] <= 20

解题思路

根据题目示例解释总结规律:

• 多个数做异或操作就是看每个位上1的数量是奇数，还是偶数，0没有贡献
• 在其他所选数字不变的情况下，多选一个1和少选一个1，其中一定一个是奇数个1，另外一个是偶数个1
• 所以只要某一位上有一个1出现，那么子集中一定一半是奇数个1，一半是偶数个1
• 从数组里穷举子集，每个数字只有2种选择（选择它和不选它），一共有2n个子集，所以每个数字被选中2n-1次，所以每个数字中那些为1的位，也是做出2n-1次运算贡献哦。
• x * 2n-1相当于x << (n - 1)。

代码实现

public int subsetXORSum(int[] nums) {
    int ans = 0;
    // 数字个数
    final int n    = nums.length;
    // 用每一位表示某个数字是否被选中
    final int bits = 1 << n;

    for (int b = 0; b < bits; ++b) {
        int temp = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if ((b & (1 << i)) > 0) {
                temp ^= nums[i];
            }
        }
        ans += temp;
    }
    return ans;
}

运行结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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