动态规划之组合总和 Ⅳ

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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ,和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1:

输入:nums = [1,2,3], target = 4

输出:7

解释:

所有可能的组合为: (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意,顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2:

输入:nums = [9], target = 3 输出:0

动态规划

给定数组 nums 和目标值 target,要求计算从 nums 中选取若干个元素,使得它们的和等于 target 的方案数。其中,nums 的每个元素可以选取多次,且需要考虑选取元素的顺序。由于需要考虑选取元素的顺序,因此这道题需要计算的是选取元素的排列数。

首先定义 dp 数组,dp[i] 表示从 nums 中抽取元素组成 target 的方案数。dp 数组的长度是 target + 1。其中 dp[0] 表示从数组中抽取任何元素组合成 0 的方案数,根据我们在递归时的分析,我们知道需要令 dp[0] = 1。其他位置的 dp[i] 需要初始化为 0,表示我们还没有计算过这个位置,默认的方案数为0。

想要计算得到 target,需要把 dp[1~target] 的各个元素都计算出来。每个位置的计算都是为了后面的计算做准备。

代码如下:

fun combinationSum4(nums: IntArray, target: Int): Int {
    val dp = IntArray(target + 1)
    dp[0] = 1
    for (i in 1..target) {
        for (num in nums) {
            if (num <= i) {
                dp[i] += dp[i - num]
            }
        }
    }
    return dp[target]
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(N^2)
  • 空间复杂度:O(N)O