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找出第K小的数对距离

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数对 (a,b) 由整数 a 和 b 组成，其数对距离定义为 a 和 b 的绝对差值。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，数对由 nums[i] 和 nums[j] 组成且满足 0 <= i < j < nums.length 。返回 所有数对距离中 第 k 小的数对距离。  

示例 1：

输入：nums = [1,3,1], k = 1
输出：0
解释：数对和对应的距离如下：
(1,3) -> 2
(1,1) -> 0
(3,1) -> 2
距离第 1 小的数对是 (1,1) ，距离为 0 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：0

示例 3：

输入：nums = [1,6,1], k = 3
输出：5

提示：

• n == nums.length
• 2 <= n <= 104
• 0 <= nums[i] <= 10^6
• 1 <= k <= n * (n - 1) / 2

解题思路：二分查找+双指针

由于对距离定义使用的是绝对值，因此从原数组中找数对，等价于在排序数组中找数对

又因为k的距离是N^2，因此我们不能用复杂度为O(k log n)的多路归并排序来实现

根据提示0 <= nums[i] <= 10^6，我们可以知道距离范围为0 ~ 10^6，假设所能形成的距离序列为 A = a1, a2,···,am，此时在以第 k 小的距离值为分割点的数轴上，具有「二段性」，记这第k小的距离值为 ak

• 因此处于 ak 右侧的所有位置 ai （包含 ak ）必然满足「序列 A 中值小于等于 ai的数不少于 k 个」
• 处于 ak 左侧的所有位置ai（不包含 ak ）不一定满足「序列 A 中值小于等于 ai 的数不少于 k 个」（当且仅当 ak 在序列 A 中不重复，或 ak 恰好是连续段距离值中的左端点时，必然不满足）

假设当前我们二分到的值是 x ，利用我们排序好的 nums，我们并不需要真正的构建出序列A，即可统计值小于等于 x 的数量：枚举左端点 i，每次找第一个不满足条件的右端点 j（由于 j 是第一个不满足条件的值，因此合法右端点范围为 [i + 1, j - 1]，共 j - i - 1个，利用 nums 有序，并且所有 nums[i]均为正数，可知 j 会随着i增大而逐步增大，即这部分利用「双指针」可实现 O(n)复杂度。

代码实现：（JAVA）

class Solution {
    public int smallestDistancePair(int[] nums, int k) {
        Arrays.sort(nums);
        int l = 0, r = (int)1e6;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(nums, mid) >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    int check(int[] nums, int x) {
        int n = nums.length, ans = 0;
        for (int i = 0, j = 1; i < n; i++) {
            while (j < n && nums[j] - nums[i] <= x) j++;
            ans += j - i - 1;
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log m)
• 空间复杂度：O(log n)