【算法38天：Day38】第九章动态规划 使用最小花费爬楼梯（746）

题目三：

思路

这道题目可以说是昨天动态规划：爬楼梯 (opens new window)的花费版本。

注意题目描述：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯

所以示例1中只花费一个15 就可以到阶梯顶，最后一步可以理解为 不用花费。

读完题大家应该知道指定需要动态规划的，贪心是不可能了。

1. 确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i] 。（注意这里认为是第一步一定是要花费）

对于dp数组的定义，大家一定要清晰！

2. 确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2] 。

那么究竟是选dp[i-1]还是dp[i-2]呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];

注意这里为什么是加cost[i]，而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的，因为题目中说了：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值

3. dp数组如何初始化

根据dp数组的定义，dp数组初始化其实是比较难的，因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。

那么看一下递归公式，dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

所以初始化代码为：

const dp = [ cost[0], cost[1] ]

4. 确定遍历顺序

最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？

本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶，而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。

例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？

这些都是遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的！

5. 举例推导dp数组

拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。

以上分析完毕，整体JS代码如下：

var minCostClimbingStairs = function(cost) {
    const dp = [ cost[0], cost[1] ]
    
    for (let i = 2; i < cost.length; ++i) {
        dp[i] = Math.min(dp[i -1] + cost[i], dp[i - 2] + cost[i])
    }
    // 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
    return Math.min(dp[cost.length - 1], dp[cost.length - 2])
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，JS代码如下：

var minCostClimbingStairs = function(cost) {
    // dp[i]：到达第i个台阶所花费的最少体力
    const dp = [cost[0], cost[1]]
    for (let i = 2; i < cost.length; i++) {
        let sum = Math.min(dp[1] , dp[0] )+ cost[i]
        dp[0] = dp[1]
        dp[1] = sum
    }
    return Math.min(dp[0], dp[1])
}

拓展

这道题描述也确实有点魔幻。

题目描述为：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

示例1：

输入：cost = [10, 15, 20] 输出：15

从题目描述可以看出：要不是第一步不需要花费体力，要不就是第最后一步不需要花费体力，我个人理解：题意说的其实是第一步是要支付费用的！ 。因为是当你爬上一个台阶就要花费对应的体力值！

所以我定义的dp[i]意思是也是第一步是要花费体力的，最后一步不用花费体力了，因为已经支付了。

当然也可以样，定义dp[i]为:第一步是不花费体力，最后一步是花费体力的。

所以代码这么写：

var minCostClimbingStairs = function(cost) {
    const dp = [0, 0]
    for (let i = 2; i <= cost.length; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    }
    return dp[cost.length];
};

这么写看上去比较顺，但是就是感觉和题目描述的不太符。哈哈，也没有必要这么细扣题意了，大家只要知道，题目的意思反正就是要不是第一步不花费，要不是最后一步不花费，都可以。

#总结