猜数字大小 II

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

我从 1 到 n 之间选择一个数字。你来猜我选了哪个数字。如果你猜到正确的数字，就会赢得游戏。如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的更大或者更小，并且你需要继续猜数。每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会输掉游戏。给你一个特定的数字 n ，返回能够确保你获胜的最小现金数，不管我选择那个数字。

示例 1：

输入：n = 1

输出：0

解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。

示例 2：

输入：n = 2

输出：1

解释：有两个可能的数字 1 和 2 。

你可以先猜 1 。

如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付$ 1 。
如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。

最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。

动态规划

状态定义：dp[i][j]表示选中的数在 [i,j] 之间时能够确保获胜需要备用的现金数；
状态转移：dp[i][j]=min{k=i->j}(max(dp[i][k-1], dp[i][k+1]) + k);
初始值：对于只有一个数时，选中的数肯定就是这个数，代价为0，所以，初始值为 dp[i][i] = 0，Java中不需要特殊处理；
返回值：dp[1][n]；

通过状态转移公式，可以看到，区间 [i,j] 依赖于更小的区间 [i,x-1] 和 [x+1,j]，所以，我们可以先计算长度小的区间，再计算长度大的区间，这里有两种写法：一种是枚举长度，从小到大；一种是 i 和 j 保持反向遍历；

代码如下：

fun getMoneyAmount(n: Int): Int {
    val dp = Array(n + 2) { IntArray(n + 2) }
    for (i in n - 1 downTo 1) {
        for (j in i + 1..n) {
            var min = Int.MAX_VALUE
            for (k in i..j) {
                min = Math.min(min, Math.max(dp[i][k - 1], dp[k + 1][j]) + k)
            }
            dp[i][j] = min
        }
    }
    return dp[1][n]
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n^3)
空间复杂度：O(n^2)

动态规划之猜数字大小 II

猜数字大小 II

动态规划

复杂度分析